Добрый день!
Помогите, пожалуйста, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
x(t) = 2 * t - t^2, y(t) = 2 * t^2 - t^3

x(t) = 2 * t - t^2, y(t) = 2 * t^2 - t^3
Решение.
Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, имеет точку самопересечения в начале координат, поэтому в примере ресь идет о вычислении площади, ограниченной петлей кривой.
Так как х = у = 0 при t = 0 и t = 2, то 0 <= t <= 2.
Используем формулу для вычисления площади:
S = 1/2 * int (0 2) (x * y' - y * x') dt =
= 1/2 * int (0 2) ((2 * t - t^2) * (2 * t^2 - t^3)' - (2 * t^2 - t^3) * (2 * t - t^2)') dt =
= 1/2 * int (0 2) ((2 * t - t^2) * (4 * t - 3 * t^2) - (2 * t^2 - t^3) * (2 - 2 * t)) dt =
= 1/2 * int (0 2) (8t^2 - 6t^3 - 4t^3 + 3t^4 - 4t^2 + 4t^3 + 2t^3 - 2t^4) dt =
= 1/2 * int (0 2) (t^4 - 4 * t^3 + 4 * t^2) dt =
= 1/2 * (1/5 * t^5 - 4 * 1/4 * t^4 + 4 * 1/3 * t^3)_{0}^{2} =
= 1/2 * (1/5 * t^5 - t^4 + 4/3 * t^3)_{0}^{2} =
= 1/2 * ((1/5 * 2^5 - 2^4 + 4/3 * 2^3) - (1/5 * 0^5 - 0^4 + 4/3 * 0^3)) =
= 1/2 * (32/5 - 16 + 32/3) = 1/2 * (96/15 - 240/15 + 160/15) = 1/2 * 16/15 = 8/15
Ответ: S = 8/15.

(IMG:http://s48.radikal.ru/i119/0904/5e/542d49f180ebt.jpg)