Добрый вечер. Помогите мне, пожалуста, с моей проблемой.
Необходимо исследовать функцию на экстремум.

z=2*x^3 - x*y^2 + 5*x^2 - y^2

Для начала я нашел частные производные по x и по y:
dz/dx = 6*x^2 - y^2 + 10*x
dz/dy = -2*x*y - 2*y

Далее приравниваем это к нулю:
6*x^2 - y^2 + 10*x = 0
-2*x*y - 2*y = 0

Вот здесь-то я и застрял. Точнее, застрял с первым уравнением. Во втором можно вынести y и мы получим:
-y*(2 + 2*x) = 0

А вот как быть с первым уравнением?

из второго:
или у=0, или 2 + 2*x = 0
y = 0 или x = -1
Рассматриваете каждый случай.
1) y = 0
Тогда из первого уравнения 6*x^2 + 10*x = 0 => x = 0 или x = -5/3.
M1(0;0), M2(-5/3;0)
2) x = -1
Тогда из первого уравнения 6 - y^2 - 10 = 0 => y^2 = -4 корней нет
В этом случае никаких точек не возникнет.
Теперь исследуем точки M1 и M2.
d^2z/dx^2 = 12x + 10
d^2z/dxdy = -2y
d^2z/dy^2 = -2x - 2
Для точки M1(0;0)
A = d^2z/dx^2(M1) = 10, B = d^2z/dxdy(M1) = 0, C = d^2z/dy^2(M1) = -2
D = AC - B^2 = -20
D < 0 => точка M1 не является точкой экстремума.
Для точки М2(-5/3;0)
A = d^2z/dx^2(M2) = -10, B = d^2z/dxdy(M2) = 0, C = d^2z/dy^2(M2) = 4/3
D = AC - B^2 = -20
D < 0 => точка M2 не является точкой экстремума.
Получаем, что точек экстремума нет. Вроде бы так.