вот у меня задачка. в плоскости z дано уравнение линии. x^2+y^2=9. На какую линию плоскости W она отображается функцией W(z)= 1/z? Привести поясняющие чертежи.

По логике аналитической геометрии отображается она в эллипс, как мне кажется. но доказать не могу. и доказывать надо скорее всего исходя из теории поля.

С чего начать?

При чем здесь теория поля? Это ТФКП.
x^2+y^2=9 - уравнение окружности радиуса 3 с центром в начале координат.
Удобнее задать эту окружность параметрически:
(*) x=3cost, y=3sint, t из [0, 2pi].
Функция W(z)= 1/z переводит комплексную плоскость z с системой координат xOy (так что z=x+iy) в комплексную плоскость W с системой координат uOv (так что w=u+iv) по правилу:
w=1/(x+iy). Выделяя действ. и мним. части этого выравжения, получим
w=x/(x^2+y^2) -i*y/(x^2+y^2)
Отсюда
u=x/(x^2+y^2), v= -y/(x^2+y^2)
Подставляя (*), получим параметрическое уравнение искомой кривой:
(**)u=(1/3)*cost, v=-(1/3)*sint, t из [0, 2pi].
Это уравнение окружности радиуса 1/3 с центром в начале координат.

Знак минус говорит только о том, что если начальная окружность обходится против часовой стрелке, то
полученная окружность будет обходиться по часовой (и наоборот).
Вроде так.

спасибо большое. сегодня откопала у знакомой один учебник и тоже пришла к выводу ,что это ТФКП. теперь с вашей подсказкой обязательно справлюсь.