Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
z = 0, z - y^2 = 0, x^2 + y^2 = 9

z = 0, z - y^2 = 0, x^2 + y^2 = 9
z - y^2 = 0 => z = y^2
Переходим к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
Тогда
0 <= z <= y^2 => 0 <= z <= r^2 * sin^2 fi
Найдем пределы интегрирования по r и fi.
x^2 + y^2 <= 9 => r^2 * cos^2 fi + r^2 * sin^2 fi <= 9 => r^2 <= 9
Получаем, что 0 <= r <= 3, 0 <= fi <= 2 * pi.
Следовательно,
V = int (0 2 * pi) dfi int (0 3) r dr int (0 r^2 * sin^2 fi) dz =
= int (0 2 * pi) dfi int (0 3) r dr (z)_{0}^{r^2 * sin^2 fi} =
= int (0 2 * pi) dfi int (0 3) r * (r^2 * sin^2 fi) dr =
= int (0 2 * pi) dfi int (0 3) r^3 * sin^2 fi dr =
= int (0 2 * pi) sin^2 fi dfi * int (0 3) r^3 dr =
= int (0 2 * pi) (1 - cos (2fi))/2 dfi * (1/4 * r^4)_{0}^{3} =
= int (0 2 * pi) (1/2 - 1/2 * cos (2fi)) * (1/4 * 3^4 - 1/4 * 0^4) =
= (1/2 * fi - 1/2 * 1/2 * sin (2fi))_{0}^{2 * pi} * 1/4 * 81 =
= (1/2 * fi - 1/4 * sin (2fi))_{0}^{2 * pi} * 1/4 * 81 =
= ((1/2 * 2 * pi - 1/4 * sin (4 * pi)) - (1/2 * 0 - 1/4 * sin 0)) * 81/4 =
= pi * 81/4 = 81 * pi/4.
Ответ: V = 81 * pi/4.

Спасибо