Помогите, пожалуйста, найти площадь фигуры, ограниченной кривой
x = 8 * cos^3 t, y = 4 * sin^3 t
Заранее спасибо!

x = 8 * cos^3 t, y = 4 * sin^3 t
0 <= t <= 2 * pi
S = 1/2 * int (0 2 * pi) (x * y' - x' * y) dt
x' = (8 * cos^3 t)' = 8 * 3 * cos^2 t * (-sin t) = -24 * sin t * cos^2 t
y' = (4 * sin^3 t)' = 4 * 3 * sin^2 t * cos t = 12 * sin^2 t * cos t.
Тогда
S = 1/2 * int (0 2 * pi) (8 * cos^3 t * 12 * sin^2 t * cos t +
+ 24 * sin t * cos^2 t * 4 * sin^3 t) dt =
= 1/2 * int (0 2 * pi) (96 * sin^2 t * cos^4 t + 96 * sin^4 t * cos^2 t) dt =
= 48 * int (0 2 * pi) (sin^2 t * cos^4 t + sin^4 t * cos^2 t) dt =
= 48 * int (0 2 * pi) sin^2 t * cos^2 t * (cos^2 t + sin^2 t) dt =
= 48 * int (0 2 * pi) sin^2 t * cos^2 t dt = 12 * int (0 2 * pi) 4 * sin^2 t * cos^2 t dt =
= 12 * int (0 2 * pi) (2 * sin t * cos t)^2 dt =
= 12 * int (0 2 * pi) sin^2 2t dt = 12 * int (0 2 * pi) (1 - cos 4t)/2 dt =
= 12 * 1/2 * int (0 2 * pi) (1 - cos 4t) dt = 6 * (t - 1/4 * sin 4t)_{0}^{2 * pi} =
= 6 * ((2 * pi - 1/4 * sin (8 * pi)) - (0 - 1/4 * sin 0)) = 6 * 2 * pi = 12 * pi.
Ответ: S = 12 * pi.