Прошу проверить моё решение задачи № 9 из решебника Гмурмана издания 1979 г.

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
Решение (Гмурмана (IMG:style_emoticons/default/dry.gif) ). Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т. е. C из 6 по 3.
Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на
одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях
двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по
два, т. е. С из 5 по 2.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возвозможных элементарных исходов:
P=( С из 5 по 2)/( C из 6 по 3) = 1/2.

Решение моё (IMG:style_emoticons/default/blink.gif) :
Вероятность выпадения 6 на одной кости = 1/6. Бросание 2-х других имеет 6^2=36 исходов, из которых 20 – благоприятные (я просто нарисовал квадрат 6х6 и подсчитал благоприятные исходы). Так как первую кость можно выбрать 3 способами по ответ будет таким: 3*(1/6)*(20/36)=60/216

Для проверки решения я накарябал программку и получил результат, совпадающий с моим решением. Поскольку крайне маловероятно, что ошибся Гмурман, слёзно прошу указать на мои ошибки в решении и в программе. (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

Вы заставили меня задуматься. Действительно, почему у Гмурмана общее число элементарных исходов С из 6 по 3? Ведь при бросании 3-х костей получаем 6^3=216. А число благоприятствующих исходов
3*C(1, 1)*C(5, 1)*C(4, 1)=3*1*5*4=60.
Т.е. искомая вероятность P=60/216. Получается как у вас...

Подождем Вениамина. Может он нам объяснит, чего мы недопонимаем (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)

Вот оригинал Гмурмана

У меня издание 2002-го года. Там все тоже самое.

Увы нам! (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Я смирился с необъяснимым явлением.

А что, хорошо ли издание 2002 года? Меня вот жаба душит покупать. Пользуюсь тем, которое скачал из сети. Стоит ли покупать новое?

Пока мне понятна логика всех решений (Гмурмана в частности). Но поскольку ответы разные, то по крайней мере одно решение ошибочно. Очень интересно!

Вообще-то я могу выписать все 216 возможных вариантов выпадания, если это поможет делу.

А вот мне логика Гмурмана не понятна (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Не могли бы вы немного пояснить?


Судя по всему, издание 2002 года не отличается от предыдущих. Просто я люблю, когда есть книга в «твердом» виде.

Как интересно...
Мне у Гмурмана тоже непонятно - уж по крайней мере С(6,3) с повторениями...
Хотя, наверное, можно за элементарные исходы взять только те, когда все числа разные? Я так правда никогода не делала..


Наверное, ключевое выражение здесь - "ЕСЛИ на гранях двух других ..."

И тогда действительно по-гмурмановски решать надо.

На самом деле Вы (уж и не знаю, к кому теперь обращаюсь (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) ) и Гмурман РЕШАЕТЕ РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ (с разными условиями) и вина в этом лежит на Гмурмане - он слишком туманно и неоднозначно изложил условие задачи. Это очень частый недостаток формулировок задач по теории вероятностей - неоднозначность понимания условия, но это не недостаток теории вероятностей, а недостаток тех, кто эти задачи формулирует.
Формулировка Гмурмана:
"Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести)."
Меня в формулировке сразу насторожило слово "если". Ведь если понимать задачу так, как ее поняли Вы и я, то гораздо уместнее было бы на его месте поставить союз "а".
Судя по приведенному решению, Гмурман находит вероятность как долю благоприятных исходов СРЕДИ ИСХОДОВ С НЕПОВТОРЯЮЩИМИСЯ ЧИСЛАМИ ОЧКОВ НА ГРАНЯХ, а не среди всех исходов вообще (как это следовало бы делать, если понимать условие так, как это сделали мы) . То, что Гмурман при этом рассматривает только неупорядоченные тройки очков на гранях не ошибка, так как учет порядка приведет к умножению чисел n и m на одно и то же число 3!=6, что потом не скажется на результате при счете по формуле P=m/n. Такое решение наводит на мысль о задаче на условную вероятность.
Фактически Гмурман решает следующую задачу:

"Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если известно, что на всех гранях выпало различное количество очков."
Реально это задача на условную вероятность, поэтому ей вообще нет места в том разделе самого начала задачника. Если Вы решите задачу в последней формулировке, используя привычную формулу P(A/B)=P(A*B ) / P(B ), то Вы легко получите ту вероятность 1/2, которую получил Гмурман.



Только сейчас увидел, что Nutik тоже увидела "корень зла". Молодец!
P.S. И никаких "заниженных самооценок"! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Я бы не сказала, что это недостаток формулировки - по-моему, как раз достоинство, не достаточно разъясненное при решение - оно заставляет задуматься о формулировке и приближает к пониманию условной вероятности .
Правда, заставляет задуматься она только пытливого читателя, каковым на сей раз оказался Ботаник

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

А он в свою очередь заставил задуматься нас, столько раз проходивших мимо...

Не согласен.
Недостаток (и очень большой) формулировки - в ее неоднозначном понимании. Каждый может понять по-своему и у каждого при этом останутся сомнения.
А приведена задача в самом начале задачника - в параграфе о классическом определении вероятностей, где еще и духу то нет условной вероятности. В частности, и по этой причине мы сначала поняли формулировуку так, как мы ее поняли.

Ну так она же там же и разобрана. Вот недостаток разбора - как раз в том, что не отмечена эта особенность формулировки (которая сама по себе мне кажется как раз конкретной корректной).

По-моему как раз в самом начале полезно показать студентам возможность такой формулировки и что с этим делать.

Хотя если бы он по крайней мере сразу написал бы "если на всех костях числа разные".... (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif)

Обратно не согласен (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
1. Формулировка неоднозначно понимаема. Почему бы вместо "если на гранях двух других костей выпадут числа..." прямо не написать "если ИЗВЕСТНО, ЧТО на гранях двух других костей выпаЛИ числа..."
2. Даже в такой исправленной формулировке эта задача не должна быть в первом разделе, где выше дана только формула P=m/n, причем n в ней означает число ВСЕХ элементарных исходов И НИЧЕГО БОЛЕЕ.

2. Именно в 1 разделе, когда нет еще условной вероятности, показать, что в качестве элементарных исходов в разных задачах выступают разные множества.
С п.1 частично согласна (все-таки при желании она понимается на мой взгляд однозначно, но можно было и уточнить).
(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) пора заканчивать наши прения. Видимо, мне не удастся Вас переубедить (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) .

1) Ботаник решал задачу именно в такой формулировке (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

2) Каким образом вы получаете вероятность 1/2? Пожалуйста, распишите подробнее, не ограничиваясь лишь общей формулой из учебника. Я рассуждаю совсем уж по-дилетантски, на качественном уровне: вероятность просто получить шестёрку менее 1/2. Да? Теперь мы накладываем на результат дополнительное ограничение (безразлично какое именно). Так каким образом вероятность нашего события может при этом увеличиться? Она может только уменьшиться. И откуда 1/2? Где ошибка в моей логике?

3) Вот все возможные исходы Я не поленился просто тупо подсчитать кол-во благоприятных и получил подтверждение своего результата. Так где же у меня ошибка и в чём я запутался? (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)


Долго сочинял и не увидел предыдущего ответа. Действительно, давайте закроем тему.

На одном конкретном кубике получить 6 - вероятность действительно меньше 1/2, но надо ведь на любом из трех.
И дело в том, что мы не накладываем доп. ограничение, а как бы из него исходим. Мы уже знаем, что на двух других не 6 и разные, и поэтому уменьшаем кол-во элементарных исходов.


К сожалению, файл не качается почему-то... Интересно было бы посмотреть...

2 A_nn:
Не хотел засорять ветку, но ваше мыльце скрыто. Поэтому выкладываю здесь.

Но Вы же как раз не учитываете ту часть условия, в которой говорится "если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести)"!!!
Например, среди Ваших элементарных исходов есть тройка (5 5 5) - она не подходит под условие.

1) Что же Вы о себе в третьем лице (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) ? Ботаник решал задачу не в этой формулировке. Ботаник решал задачу в формулировке:
"Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, а на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

2)События:
А - при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости,
В - на всех гранях выпало различное количество очков.

Тогда
Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В).
Событие АВ - шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости и на всех гранях выпало различное количество очков.
Р(АВ)=m/n, m=3*A(5,2)=60, n=6^3.
Р(В)=m/n, m=A(6,3)=120, n=6^3.
Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)=1/2.