доказать, что множество Е не имеет предельных точек, теоретическая задачка, подскажите план решения |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
доказать, что множество Е не имеет предельных точек, теоретическая задачка, подскажите план решения |
Limit |
9.1.2008, 21:31
Сообщение
#1
|
Новичок Группа: Пользователи Сообщений: 1 Регистрация: 9.1.2008 Город: Ижевск Учебное заведение: ИжГТУ Вы: студент |
Задача:
Дано множество Е на прямой, причём inf(|Xn-Xm|)=a>0 (inf по n,m и n-не равен m), где Xn,Xm - любые точки Е. Доказать, что множество Е не имеет предельных точек пробывал решать от противного, но что-то не смог довести доказательство до завершения, может из-за того, что не могу понять для чего здесь нужна нижняя граница Пожалуйста, подскажите план доказательства, если сможете) |
Wicktor |
4.2.2008, 15:23
Сообщение
#2
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 9 Регистрация: 1.2.2008 Город: Комсомольск-на-Амуре Учебное заведение: КнАГТУ Вы: другое |
Здравствуйте, я решил вашу задачу и оформил её latex-ом так что само решение находится в прикреплённом файле в формате pdf. Саму задачу естественно решать в категории метрических пространств, в виду того что само множество E в этой задаче рассмативается как метрическое пространство ибо на ней вводится метрика inf(|?,??|) которая неестественна для прямой, именно поэтому акцентируется внимание на точной нижней грани, в противном бы случае мы не получили бы метрического пространства, хотя об этом я и упомянул в решении...
Сама теория метрических пространств есть например в замечательной книги А.Н.Колмогоров "Элементы теории функции и функционального анализа", для знакомства с этой теорией, в принципе, достаточно начальных знаний по математическому анализу... Надеюсь что я Вам помог... Прикрепленные файлы answer.pdf ( 87.07 килобайт ) Кол-во скачиваний: 23 |
venja |
4.2.2008, 16:46
Сообщение
#3
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Задача: Дано множество Е на прямой, причём inf(|Xn-Xm|)=a>0 (inf по n,m и n-не равен m), где Xn,Xm - любые точки Е. Доказать, что множество Е не имеет предельных точек пробывал решать от противного, но что-то не смог довести доказательство до завершения, может из-за того, что не могу понять для чего здесь нужна нижняя граница Пожалуйста, подскажите план доказательства, если сможете) Это простое утверждение. Допустим, что предельная точка есть. Тогда существует последовательность {Хn} точек из Е, сходящаяся к этой предельной точке. По определению сходимости по Коши для любого епсилон существует N такое, что для всех n и m больших N : |Xn-Xm|меньше епсилон. Осталось взять епсилон=а, как получим противоречие с условием, так как по условию должно быть для ВСЕХ n и m : |Xn-Xm| больше или равно а. |
Текстовая версия | Сейчас: 2.5.2024, 13:24 |
Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru