Помогите, пожалуйста, найти поток векторного поля a = zi - 4yj + 2xk
через замкнутую поверхность S: z = x^2 + y^2, z = 1.
Заранее благодарен...

a = zi - 4yj + 2xk, S: z = x^2 + y^2, z = 1
Используем формулу Гаусса-Остроградского:
P = z, Q = -4y, R = 2x
div a = dP/dx + dQ/dy + dR/dz = -4 =>
Поток = int -4 dx dy dx.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
x^2 + y^2 <= z <= 1 => r^2 <= z <= 1
x^2 + y^2 <= 1 => 0 <= r <= 1, 0 <= fi <= 2 * pi.
Получаем, что
Поток = -4 * int (0 2 * pi) dfi int (0 1) r dr int (r^2 1) dz =
= -4 * int (0 2 * pi) dfi int (0 1) r dr (z)_{r^2}^{1} =
= -4 * 2 * pi * int (0 1) r * (1 - r^2) dr = -8 * pi * int (0 1) (r - r^3) dr =
= -8 * pi * (1/2 * r^2 - 1/4 * r^4)_{0}^{1} =
= -8 * pi * ((1/2 * 1^2 - 1/4 * 1^4) - (1/2 * 0^2 - 1/4 * 0^4)) =
= -8 * pi * (1/2 - 1/4) = -8 * pi * 1/4 = -2 * pi.
Ответ: Поток = -2 * pi.