z = x^3 - x * y^2 + 3 * x^2 + y^2 - 1

dz/dx = 3x^2 - y^2 + 6x

dz/dy = -2xy + 2y

{3x^2-y^2+6x=0,
{-2xy+2y=0.

y(-x+1)=0

x=1
3-y^2+6=0
y^2 равно 9
y = 3 или -3.

y=0
3x^2+6x=0
x(x+2)=0
so
x=0 or x=-2
Получаем четыре точки M1(1;3), M2(1;-3), M3(0;0), M4(-2;0)

A = z''xx = 6x + 6
B = z''xy = -2y = z''yx
C = z''yy = -2x + 2
D = A * C - B^2

M1(1;3)
A = 12, B = -6, C = 0, D = -36
D < 0 => в точке M1 экстремума нет

M2(1;-3)
A = 12, B = 6, C = 0, D = -36
D < 0 => в точке M2 экстремума нет

M3(0;0)
A = 6, B = 0, C = 2, D = 12
D > 0, A > 0 => M3 - точка минимума
z_min = z (0;0) = -1

M4(-2;0)
A = -6, B = 0, C = 6, D = -36
D < 0 => в точке М4 экстремума нет

Правильно?
Спасибо заранее.

Да, всё правильно.