Пожалуйста, помогите!!!!
где -то сделал ошибки, но где не могу понять, просто очень важно решить без единой ошибочки, а мне кажется что я уже ничего не соображаю. Заранее большое спасибо

Найти области сходимости функциональных рядов

∞
1 Пример∑ (n^2*sqrt(x-1)*e^(-n/x)
n=1

Использую радикальный признак Коши
Получаю:
Limn→∞ n sqrt (n^2*sqrt(x-1)*e^(-n/x)) = Limn→∞n^(2/n)*(x-1)*e^(-x)= Limn→∞1^2*(x-1)*e^(-x)=<1
X-1<1 и e^-x<1
e^-x<1 всегда меньше 1 на участке )1;+∞),
а Х-1<1
X>-1
Тогда Х )-1; +∞)
На концах исследую методом сравнения с рядом 1/n^2 этот ряд сходится по интегральному признаку Коши . Тогда область сходимости какая получается )-1; ;+∞) Наверно где неправильно, но не могу понять где.

2 пример
Ряд от n=1 до n→∞ 2n+3/(n+1)^5 *x^(2n)
И использую признак Деламбера
a (n+1)= 2n+5/ (n+2)^5*x^(2n+2)
Получаю:
Limn→∞ ( 2n+5/ (n+2)^5*x^(2n+2))/ 2n+3/(n+1)^5 *x^(2n)= Limn→∞ (2n+5)*(n+1)^5/(n+2)^5*x^2*(2n+3)=<1
При 1/x^2<1
X^2 >1
X>1
X<-1
X (-∞;-1( ∩ )1;+ ∞)
Исследую на концах промежутков
X=-1
Limn→∞ 2n+3/(n+1)^5= Limn→∞ (2+3/n)/(n^4 +1/n)=0 <1 – cходится
При Х=1 тоже самое.
Тогда область сходимости получается (-∞;-1( ∩ )1;+ ∞)

3 Пример.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001
Инт от 0 до 0,5 ∫(1+Х^4)^(-1/4)
Не знаю, правильно ли разложил в ряд Макларена , у меня получилось:

(1+Х^4)^(-1/4) =1 - 1/4х^4 + 3/16x^8 – 13/64x^12 +……

Что совсем не верно? Если можно, пожалуйста, подскажите пути правильного решения.

Расставьте скобки в условии примеров. На что распостраняются корни? Пишите sqrt(....). Что входит в показатели степени, а что нет? Непонятно.

Спасибо большое, что откликнулись. Вот исправил.
Найти области сходимости функциональных рядов

∞
1 Пример∑ (n^2*sqrt(x-1)*e^(-n/x)
n=1

Использую радикальный признак Коши
Получаю:
Limn→∞ n sqrt (n^2*sqrt(x-1)*e^(-n/x)) = Limn→∞n^(2/n)*(x-1)*e^(-x)= Limn→∞1^2*(x-1)*e^(-x)=<1
X-1<1 и e^-x<1
e^-x<1 всегда меньше 1 на участке )1;+∞),
а Х-1<1
X>-1
Тогда Х )-1; +∞)
На концах исследую методом сравнения с рядом 1/n^2 этот ряд сходится по интегральному признаку Коши . Тогда область сходимости какая получается )-1; ;+∞) Наверно где неправильно, но не могу понять где.

2 пример
Ряд от n=1 до n→∞ 2n+3/(n+1)^5 *x^(2n)
И использую признак Деламбера
a (n+1)= 2n+5/ (n+2)^5*x^(2n+2)
Получаю:
Limn→∞ ( 2n+5/ (n+2)^5*x^(2n+2))/ 2n+3/(n+1)^5 *x^(2n)= Limn→∞ (2n+5)*(n+1)^5/(n+2)^5*x^2*(2n+3)=<1
При 1/x^2<1
X^2 >1
X>1
X<-1
X (-∞;-1( ∩ )1;+ ∞)
Исследую на концах промежутков
X=-1
Limn→∞ 2n+3/(n+1)^5= Limn→∞ (2+3/n)/(n^4 +1/n)=0 <1 – cходится
При Х=1 тоже самое.
Тогда область сходимости получается (-∞;-1( ∩ )1;+ ∞)

3 Пример.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001
Инт от 0 до 0,5 ∫(1+Х^4)^(-1/4)
Не знаю, правильно ли разложил в ряд Макларена , у меня получилось:

(1+Х^4)^(-1/4) =1 - 1/4х^4 + 3/16x^8 – 13/64x^12 +……

1 n^2 * sqrt(x-1) * e^(-n/x) ? т.е. sqrt(x-1) - НЕ в степени?
Если так, то
Limn→∞ n^(2/n) * (x-1)^{1/(2n)} * e^(-1/x) = e^(-1/x) (потеряли просто корень n-й степени от sqrt(x-1) )
этот момент нужно уточнить
e^(-1/x)<1 ==> -1/x<0 ==> x>0
x-1>0 ==> x>1
Получаем x>=1 область сходимости

2 Опять же - где x^(2n) - в числителе или знаменателе?
Если в знаменателе, то верно

1. В первом примере sqrt(x-1) не в степени, а просто умножается на (n^2) и еще умножается на е^(-n/x).
Получается ряд (n^2)*(sqrt(x-1))*е^(-n/x).

2. Во втором примере х^(2n) в знаменателе.
3. А разложил я правильно в ряд Макларена?

2. Обозначим t=1/x^2, тогда t>0, ряд

[(2n+3)/(n+1)^5]*t^n

Это степенной ряд относительно t. Найдите область сходимости.
Думаю, получится [-1,1]. С учетом положительности t будет
(0,1].
Осталось решить неравенство 1/x^2 <=1
|x|>=1 - область сходимости.



Чтобы не было вопросов надо было дать такую запись:

Ряд от n=1 до n→∞ (2n+3)/[(n+1)^5 *x^(2n)]

спасибо большооооое за помощь!!!!!
А третий ряд все-таки правильно или нет?

(1+Х^4)^(-1/4) =1 - (1/4)*х^4 + [(1*5)/(4*8)]*x^8 – [(1*5*9)/4*8*12)]*x^12 +……

спасибо Вам большое. Без Вас бы пропал.