Здравствуйте. Прошу помощи снова от вас, так как совсем не понимаю что в этом интеграле делать.
Задание: Найти интеграл подходящей заменой сводя его к интегралу от рациональной функции.
INT [(tgx)^(-1/3)] dx

Собственно пробовал замены:

tgx = t^3 получается INT [ t/(1+t^6) ] dt

t = 1/[(tgx)^(1/3)] получается -3*INT [ t^3/(1+t^6) ] dt

tgx = (tgt)^3 получается 24 INT [ ( (3cost + cos3t)*((cost)^4) ) / ( (3sint-sin3t)*(5+3cos4t) ) ] dt здесь использовал формулу (tgt)^3 = (3sint-sin3t)/(3cost-cos3t)

tgx = t получается INT [1/( (1+t^2) * (t)^(1/3) )] dt

Прикладываю фотографию своих решение, чтобы проще было понимать. Если есть уточняющие вопросы, спрашивайте. Спасибо за внимание!
(IMG:http://s019.radikal.ru/i636/1511/f0/fd141ed27ce5t.jpg)
http://radikal.ru/fp/d307d80cda7f426fab388497f4d2a467

получается 3 INT [ t/(1+t^6) ] dt = [t^2 подгоняем под знак дифференциала]=

=3 INT [ t/(1+t^6) ] (dt^2)/2t = 3/2 int { 1/(1+[t^2]^3) } dt^2

t^2=p

3/2 int { 1/(1+p^3) } dp=

=3/2 int { 1/(1+p^3) } dp=

=1/2[ 1/(1+p) - (p-2)/(p^2-p+1) ] =

=1/2[ 1/(1+p) - (p-2)/( [p-0.5]^2+3/4) ] =

=1/2[ 1/(1+p) - (p-0.5-1.5)/( [p-0.5]^2+3/4) ] =

=1/2[ 1/(1+p) - (p-0.5)/( [p-0.5]^2+3/4) + 1.5/ ( [p-0.5]^2+3/4) ] =

и считайте интеграл от каждого слагаемого

1/(1+p) - табличный
- (p-0.5)/( [p-0.5]^2+3/4) внести под знак дифференциала p-0.5]^2
+ 1.5/ ( [p-0.5]^2+3/4) - табличный

2)Во втором пункте, где - (p-0.5)/( [p-0.5]^2+3/4) не могу решить, получается, после внесения (p-0,5)^2 под дифференциал:
- INT [ 1 /2(p-0,5)( (p-0,5^2) +3/4 ) ] d(p-0,5)^3 , далее можно разделить на две дроби через неопределённый коэффициенты
-1/3 INT [ 4/(2p-1) - (2p-1)/( (p-0,5)^2 + 3/4 ) ] d(p-0,5)^3 , можно не делить на дроби, а просто раскрыть в знаменателе скобки
- INT [1/ ( 2(p-0,5)^3 + (3/2)*(p-0,5) )] d(p-0,5)^3 но дальше ничего не получается.

3)И если можно уточнить по 3 пункту, где + 1.5/ ( [p-0.5]^2+3/4), там ответ получается : [3/(3^1/2)] * arctg [ (2x-1) / (3^1/2) ] ?

- int (p-0.5)/( [p-0.5]^2+3/4) dp =

- int (p-0.5)/( [p-0.5]^2+3/4) d(p-0.5)^2/(2 (p-0.5) )=

- int 1/( [p-0.5]^2+3/4) d(p-0.5)^2/2= (1/2)ln ( [p-0.5]^2+3/4 )




да, только не х, а p

Спасибо, все понятно, вот только куда девается минус в

Может быть там -(1/2)ln ( [p-0.5]^2+3/4 ) ?

да с минусом