IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Обобщенное однородное уравнение второго порядка
tesey
сообщение 20.11.2007, 20:00
Сообщение #1


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 3
Регистрация: 20.11.2007
Город: Украина
Учебное заведение: универ
Вы: студент




Вот мучаюсь с примером. Никак не могу разобраться

(x^4)*y'' - (x^3)*(y')^3 + 2*(x^2)*y*(y')^2 - (3*x*(y^2) + 2*x^3)*y' + 2*(x^2)*y + y^3 = 0

(Ответ: y = x*arcsin(C2 * x) + C1*x )

Нехитрыми преобразованиями я его свел до:

(x^4)*y'' - (x*y' - y)^3 + (x^2)(2*y - y*(y')^2 - 2*x*y') = 0

Т.к. это обобщенное однородное ДУ (k = 1) то заменой x = e^t y = z*e^t получил:

z'' - z' - (z')^3 - z*(z' + z)^2 =0

Порядок не понизился, но зато нет независимого аргумента. Использовал замену z' = p z'' = p*p'

p*p' - p - p^3 - z*(p + z)^2 = 0

Получилось вот такое страшное ДУ и я не знаю как его решать дальше. Может я гдето ошибку выше допустил или это ДУ вообще не так решается?

Помогите справится с заданием.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 20.11.2007, 20:43
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Проверка показывает, что x*arcsin(C2 * x) + C1*x не является решением вышеприведенного уравнения. Вы ничего не напутали в условии?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tesey
сообщение 21.11.2007, 5:46
Сообщение #3


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 3
Регистрация: 20.11.2007
Город: Украина
Учебное заведение: универ
Вы: студент



Если в условии ошибка, то это плохо. Вот скрин с методички, вроде все как я написал.
Прикрепленное изображение
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tesey
сообщение 21.11.2007, 11:55
Сообщение #4


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 3
Регистрация: 20.11.2007
Город: Украина
Учебное заведение: универ
Вы: студент



Помучал я еще немного это ДУ. Если в исходном условии вместо 2*(x^2)*y*(y')^2 взять 3*(x^2)*y*(y')^2 (т.е. вместо 2 написать 3), то выкладки меняются слледующи образом:

(x^4)*y'' - (x^3)*(y')^3 + 3*(x^2)*y*(y')^2 - (3*x*(y^2) + 2*x^3)*y' + 2*(x^2)*y + y^3 = 0

(x^4)*y'' - (x*y' - y)^3 + (x^2)(2*y - 2*x*y') = 0

Т.к. это обобщенное однородное ДУ (k = 1) то заменой x = e^t y = z*e^t получил:

z'' - z' - (z')^3 =0

z' = u

u' - u - u^3 = 0

А это уже ДУ с раздел. частями:

(du/(u+u^3)) - dt = 0 =>

u/(sqrt(1 + u^2)) = C1*e^t =>

Возвращаясь к z:

z'/(sqrt(1 + (z')^2)) = C1*e^t =>

z' = sqrt((C1^2 * e^(2*t))/(1 - C1^2 * e^(2*t)))

Прям интергрированием получим:

z = arcsin(C1*e^t) + C2

И возвращаясь к x и y:

y = x*arcsin(C2 * x) + C1*x

Получилось в точности как в в ответе. Видать в условии опечатка.

Всем спасибо! Тему можно закрывать.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 22:36

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru