О - точка пересечения диагоналей выпуклого 4-угол. ABCD. Известно, что Saob , Sboc , Scod , Sdoa - натуральные числа. Доказать, что произведение этих площадей - точный квадрат (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Пусть S1,S2,S3,S4 - данные площади. alfa - угол между диагоналями.
S1=(1/2)*AO*OB*sin(alfa)
S2=(1/2)*OС*OB*sin(alfa)
S3=(1/2)*OС*OD*sin(alfa)
S4=(1/2)*AO*OD*sin(alfa)
П=S1*S2*S3*S4=(1/16)*sin^4(alfa)*(AO^2)*(OB^2)*(OC^2)*(OD^2)=((1/4)*sin^2(alfa)*AO*OB*OC*OD)^2=(S1*S3)^2=(S2*S4)^2=> S1*S3=S2*S4 => П=S1*S2*S3*S4 => П - точный квадрат.

Справедливо?

привет физтеху!