a1+a2+...+an=s

0 <= ai <= x
x >= 0
n >= 1
0 <= s <= s * n, естественно...

Нужно найти z - количество уникальных комбинаций для n терминов сложения, которые в сумме дают s. Любой из терминов может иметь значение от 0 до x - целые числа.

Я уже составил программу которая считает z, но методом перебора. А это долго... Очень долго! Хотя программа и дает возможность просмотра всех этих вариантов, но они мне не нужны. Нужно только их количество!

В результате простых анализов мне стало известно следующее:

1) z принимает максимум в случае когда s=x*n/2 (округлить до целого), когда же
s --> 0 или s --> s*n, то z --> 1. Меньше 1-цы быть не может.

2) обнаружил сходство с "триугольником Паскаля" (пирамида Паскаля), где одну сторону от вершины берем за s (где 0<=s<=x*n/2) а другую за n, а на пересечении получаем z. И такой же результат получаем в симетричном отражении s (когда x*n>=s>=x*n/2). Но есть маленькое НО! Когда s --> x*n/2, то z отклоняется от действительности. Т.е. почти до середины все ОК, а когда s близко к x*n/2 - отклонения. Догадываюсь почему так происходит, но незнаю ка объяснить. Могу сказать, что это связанно с ограничением задаваемым числом x.

Вопрос: Вообще выше поставленная задача выполнима или нет?

Плииз, помогите решить - очень нужно...

да. Что-то вроде того...
...
Хмм... Любопытные ссылочки!
Хотя ответа в них не нашёл (возможно "пока"), но всеровно - большое СПАСИБО ! =)

А вот некоторые результаты для "z" при условии что:
n=3, x=9 (т.е. 0<=ai<=x), s=0..27 (т.е. для всех случаев в пределе 0<=s=n*x)
s=0, z=1
s=1, z=3
s=2, z=6
s=3, z=10
s=4, z=15
s=5, z=21
s=6, z=28
s=7, z=36
s=8, z=45
s=9, z=55
s=10, z=63
s=11, z=69
s=12, z=73
s=13, z=75
s=14, z=75
s=15, z=73
s=16, z=69
s=17, z=63
s=18, z=55
s=19, z=45
s=20, z=36
s=21, z=28
s=22, z=21
s=23, z=15
s=24, z=10
s=25, z=6
s=26, z=3
s=27, z=1