Найти решения систем линейных алгебраических уравнений Ax=b методом итераций с точностью e=10^-2:
A= 5 1 -1 -5
-1 3 1 5
1 -2 3 1


Решение:
Имеем СЛАУ
A x = b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1 = β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2 = β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn = βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
где βi = bi/aii; αij = aij/aii при i ≠ j; αii = 0
Известно начальное приближение: x0 = (x01, x02, ..., x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.
Итерационная схема имеет вид:
xk+11 = β1 - ∑α1jxkj
xk+12 = β2 - α21xk+11 - ∑α2jxkj
xk+1i = βi - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj
Приведем к виду:
x1 = -1+0.2x2-0.2x3
x2 = 1.6667-0.3333x1+0.3333x3
x3 = 0.3333+0.3333x1-0.6667x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N = 1
x1 = -1 - 0 • 0.2 - 0 • (-0.2) = -1
x2 = 1.6667 - (-1) • (-0.3333) - 0 • 0.3333 = 1.3333
x3 = 0.3333 - (-1) • 0.3333 - 1.3333 • (-0.6667) = 1.5556
N = 2
x1 = -1 - 1.3333 • 0.2 - 1.5556 • (-0.2) = -0.9556
x2 = 1.6667 - (-0.9556) • (-0.3333) - 1.5556 • 0.3333 = 0.8296
x3 = 0.3333 - (-0.9556) • 0.3333 - 0.8296 • (-0.6667) = 1.2049
N = 3
x1 = -1 - 0.8296 • 0.2 - 1.2049 • (-0.2) = -0.9249
x2 = 1.6667 - (-0.9249) • (-0.3333) - 1.2049 • 0.3333 = 0.9567
x3 = 0.3333 - (-0.9249) • 0.3333 - 0.9567 • (-0.6667) = 1.2795
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N x1 x2 x3 e1 e2 e3
0 0 0 0
1 -1 1.333 1.556 1 1.333 1.556
2 -0.956 0.83 1.205 -0.0444 -0.504 -0.351
3 -0.925 0.957 1.279 -0.0306 0.127 0.0745
4 -0.935 0.928 1.264 0.0105 -0.0283 -0.0154
5 -0.933 0.934 1.267 -0.0026 0.006 0.0031
6 -0.933 0.933 1.267 0.0006 -0.0012 -0.0006
7 -0.933 0.933 1.267 -0.0001 0.0003 0.0001