IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Счётное множество
sleeper
сообщение 30.10.2007, 16:23
Сообщение #1


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 49
Регистрация: 22.5.2007
Из: Ижевск
Город: Izhevsk



Здрасте.
Вот такую задачу я не могу сделать:
Доказать, что для любого счётного множества A={xn} существует число a такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение.

Всё бы было просто, если бы {xn} был бы просто последовательностью чисел, но {xn} может быть множеством рациональных чисел, и тогда чило между {xn+1}
и {xn} не подберёш.
Сказали что надо работать с "определением пересечения", что это за определение такое ?
И что делать в этом конкретном примере?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
AlexDemche
сообщение 30.10.2007, 20:13
Сообщение #2


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 83
Регистрация: 18.3.2007
Город: Казань
Учебное заведение: Казанский Государственный Университет
Вы: преподаватель



Ну во первых, я так понимаю, что x_n - это множество чисел, иначе не определена (вообще говоря) операция сложения с числом. Если это множество чисел, то какими могут быть эти числа? любыми или рациональными или иррациональными, например? И каким должно быть число a - любым или принадлежащим множеству A.
Если число любое, то проблема которую вы указали легко решается - пусть А - множество рациональных чисел, тогда множество A* = {x_n + корень из двух} не имеет пересечения с A.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
sleeper
сообщение 1.11.2007, 10:46
Сообщение #3


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 49
Регистрация: 22.5.2007
Из: Ижевск
Город: Izhevsk



Нето.
а если Xn это последовательность 1^0.5, 2^0.5, 3^0.5 ....
Xn любое счётное множество
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 1.11.2007, 12:43
Сообщение #4


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(sleeper @ 30.10.2007, 21:23) *

Здрасте.
Вот такую задачу я не могу сделать:
Доказать, что для любого счётного множества A={xn} существует число a такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение.




Думаю, можно так.
Рассмотрим множество чисел

A={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.

Ясно, что это множество счетно, а потому не может заполнять всю числовую прямую. Поэтому существует число а, не принадлежащее А. Его-то нам и надо! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
sleeper
сообщение 1.11.2007, 17:23
Сообщение #5


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 49
Регистрация: 22.5.2007
Из: Ижевск
Город: Izhevsk



Что - то не то .....
Вот именно надо доказать "Поэтому существует число а, не принадлежащее А."
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 1.11.2007, 19:16
Сообщение #6


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Это и доказано!
Вся прямая имеет мощность континуума, а множество А - его СЧЕТНОЕ подмножество. Поэтому множество А не может совпадать со всей прямой. Отсюда следует, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ число а, не принадлежащее множеству А, Ясно, что это число "такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение."

Что и требовалось.

Предлагаю вдуматься в написанное.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
AlexDemche
сообщение 1.11.2007, 19:48
Сообщение #7


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 83
Регистрация: 18.3.2007
Город: Казань
Учебное заведение: Казанский Государственный Университет
Вы: преподаватель



Я честно говоря так и не понял внятной постановки задачи.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2007, 20:27
Сообщение #8


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Цитата(venja @ 1.11.2007, 22:16) *

Это и доказано!
Вся прямая имеет мощность континуума, а множество А - его СЧЕТНОЕ подмножество. Поэтому множество А не может совпадать со всей прямой. Отсюда следует, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ число а, не принадлежащее множеству А, Ясно, что это число "такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение."

Что и требовалось.

Предлагаю вдуматься в написанное.


MMM, так и свехнуться можно. (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 2.11.2007, 3:27
Сообщение #9


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(AlexDemche @ 2.11.2007, 0:48) *

Я честно говоря так и не понял внятной постановки задачи.


Думаю, так.

Дано произвольное счетное множество действительных чисел А:={x1, x2,x3, ...}. Пусть а - произвольное число. Рассмотрим множество "сдвигов на а": А(а):={x1+а, x2+а,x3+а, ...}.
Доказать, что существует такое действительное число а, что множества А и А(а) не пересекаются.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
A_nn
сообщение 2.11.2007, 9:13
Сообщение #10


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель



Приятно, когда на форуме появляются нестандартные задачки.
И как приятно, что есть такой человек, как venja, который предложил такое хорошее решение. Не знаю, смогла ли бы я до него догадаться. Спасибо, красиво.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 2.11.2007, 12:10
Сообщение #11


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(A_nn @ 2.11.2007, 14:13) *

Приятно, когда на форуме появляются нестандартные задачки.
И как приятно, что есть такой человек, как venja, который предложил такое хорошее решение. Не знаю, смогла ли бы я до него догадаться. Спасибо, красиво.


Nutik, спасибо за такие слова (IMG:style_emoticons/default/wub.gif) .
Мне оно самому понравилось. И было обидно, что его не понимают.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
A_nn
сообщение 2.11.2007, 13:00
Сообщение #12


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель



Я тут подумала, что стоило, наверное, Ваше множество из разностей обозначить другой буквой - наверное, всех это и путает. (там же А в условиях уже занято)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
sleeper
сообщение 2.11.2007, 16:14
Сообщение #13


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 49
Регистрация: 22.5.2007
Из: Ижевск
Город: Izhevsk



venja, а по-моему это неверно.
Надо подобрать такое а, что бы при прибавлении к любому члену Xn, Xn+a ни где не совпало ни с одним членом Xn.
А то что на числовой найдется такое число, которое не принадлежит Xn , и так понятно , т.к. это счётное множество. Если бы была простая задача я бы не писал её тут
Я уверен на 100%, что Вы сказали не правильно.
А сам, к сожалению, догадаться не могу
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
A_nn
сообщение 2.11.2007, 17:01
Сообщение #14


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель



sleeper, Вы недостаточно внимательно прочитали решение. Единственное, что я бы в нем исправила
не
Цитата
A={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.

а
В={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.
Вот и все.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 2.11.2007, 17:47
Сообщение #15


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(sleeper @ 2.11.2007, 21:14) *

venja, а по-моему это неверно.


Сомневаться - Ваше право. Сомнение разрешается проверкой правильности предложенного решения.



Цитата(sleeper @ 2.11.2007, 21:14) *

Надо подобрать такое а, что бы при прибавлении к любому члену Xn, Xn+a ни где не совпало ни с одним членом Xn.


Именно эту задачу я решал, но сформулировал ее более корректно.

Цитата(sleeper @ 2.11.2007, 21:14) *

А то что на числовой найдется такое число, которое не принадлежит Xn , и так понятно


Это уже совсем другая задача, ее решение действительно очевидно. Ноя и не собирался решать ЭТУ задачу. Решил ту, что Вы спрашивали.


Цитата(sleeper @ 2.11.2007, 21:14) *

Я уверен на 100%, что Вы сказали не правильно.


Без коментариев. Нервы не железные (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) .

Цитата(sleeper @ 2.11.2007, 21:14) *

А сам, к сожалению, догадаться не могу


Беда даже не в этом. Плохо то, что Вы не можете точно осознать, что требуется доказать в этой
задаче. И то, что не можете разобраться в уже написанном решении.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
AlexDemche
сообщение 2.11.2007, 19:07
Сообщение #16


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 83
Регистрация: 18.3.2007
Город: Казань
Учебное заведение: Казанский Государственный Университет
Вы: преподаватель



Хм...решение понял ) Правда пришлось подумать. Кстати, A - действительно смущает.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
sleeper
сообщение 3.11.2007, 12:57
Сообщение #17


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 49
Регистрация: 22.5.2007
Из: Ижевск
Город: Izhevsk



Хм...
4 препода и 1 студент, не могу не согласиться ^^
Думаю тема закрыта (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Спс за помощь
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 29.3.2024, 15:13

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru