Здравствуйте, уважаемые преподаватели!
решаю такую задачу. прошу помочь :
Вероятность того, что человек в период страхования будет травмирован,равна 0,006.Компанией застраховано 1000 человек. Годовой взнос с человека составляет 150 рублей. В случае получения травмы застраховавшийся получает 12000 руб. Какова вероятность того, что выплата по страховкам превысит сумму страховых взносов?

Сумма полученных страховых взносов: Sвзн=150*1000=150 000
Сумма выплаченная по страховкам Sстр= m*12000 где m- число страховых случаев
Найти вероятность Р(Sстр > Sвзн)
Sстр > Sвзн = m*12000 > 150 000
m > 150/12 = 50/4 = 12.5
Т.е. превысит, если число страховых случаев будет >= 13

1)Число не получивших травмы : от 0 до 987
По инт т-ме Лапласа
р=0,994 n=1000
Р1000(0<= k <=987)= Ф((987-994)/2,442)- Ф(0-994)/2,442) = -Ф(2,86635)+0,5= 0,5-0,49794=0.00206
(IMG:style_emoticons/default/mad.gif)

2) Меня смущает то, что если решать напрямую по т-ме Пуассона, то не такой результат получается.
Р(Sстр > Sвзн) =1-Р(0 <= m <=12)
Единица минус вероятность того, что событие произойдет от 0 до 12:
р=0,006 n=1000
1-0.9911725164821= 0.0088274835179

3) Расчет используя формулу Бернулли. Число успехов 0, 1, 2,..12 р=0,006 n=1000
Результат 0.008625829 (в эксель ф-ция биномрасп.)
Пожалуйста, укажите на мои ошибки и какой способ правильный (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Спасибо заранее

Если число шаров в урне растёт, и число белых растёт так, что доля белых шаров стабилизируется, то распределение числа белых шаров среди любого конечного числа вынутых (которое гипергеометрическое) сближается с биномиальным.

Однако если в теореме Пуассона (где биномиальное распределение сближается с пуассоновским) есть оценка для погрешности - можно всегда проконтролировать, достаточно ли велико n и мало p, чтобы пользоваться формулой Пуассона, то тут я даже не скажу, есть ли простые оценки, которые покажут, можно ли при данном числе шаров, белых шаров, вынутых шаров заменять гипергеометрическое распределение биномиальным. Придётся руководствоваться здравым смыслом.

Пусть задача как у Вас - на 100 шаров 10 белых, и вынимается не 50, а 5. Считаем вероятность не иметь, скажем, ни одного белого. Это будет (только я буду перемножать вероятности - первому быть чёрным, второму быть чёрным при первом чёрном, третьему быть чёрным при первых двух чёрных и т.д.):
90/100 * 89/99 * 88/98 * 87/97 * 86/96.
Видно, что это почти то же самое, что вероятности в схеме выбора с возвращением, когда испытания становятся независимыми и формула Бернулли работает: 90/100 * 90/100 * 90/100 * 90/100 * 90/100. Действительно, разница даже последнего сомножителя 86/96 с 90/100 невелика.

А теперь представим, что вынимается не 5, а 50 шаров. вероятность не иметь ни одного белого будет произведением вероятностей от 90/100 до (90-50+1)/(100-50+1) = 41/51 ~ 0,8:
90/100 * 89/99 * 88/98 * 87/97 * 86/96 * ... * 43/51 * 42/52 * 41/50.
Вместо этого перемножать 50 раз вероятности, которые все по 0,9, - это очень другое число получится.

То же самое будет наблюдаться, если искать вероятность вынуть 1 белый шар. Если вынимается 5, то по гипергеометрической формуле это будет (5 вариантов типа первый белый, остальные 4 чёрные):
5 * 10/100 * 90/99 * 89/98 * 88/97 * 87/96.
По формуле Бернулли:
5 * 10/100 * 90/100 * 90/100 * 90/100 * 90/100.

Разница между сомножителями невелика, число сомножителей всего 5, причём отличаются только 4, разница между вероятностями тоже будет невелика. А вот если сомножителей у нас будет 50, опять будет кошмарная разница: по гипергеометрической формуле
50 * 10/100 * 90/99 * 89/98 * 88/97 * 87/96 * ... * 43/52 * 42/51,
по формуле Бернулли
50 * 10/100 * (90/100)^49.
Разница между 42/51 и 90/100 вроде и небольшая, а если перемножать полсотни так отличающихся вероятностей, набежит гигантская (в сравнении с самими вероятностями, конечно).

Поэтому вычислять такие вероятности (когда выбирается число шаров, сравнимое с числом шаров в урне - 50 vs 100) имеет смысл только напрямую, по гипергеометрической формуле. Не используя приближений по формуле Бернулли, которые дают очень далёкий ответ (они годятся только когда выбирается на порядок меньше, чем их всего есть). Да в общем-то Excel отлично считает, можно сравнить.
=ЧИСЛКОМБ(90;50)/ЧИСЛКОМБ(100;50) + =10*ЧИСЛКОМБ(90;49)/ЧИСЛКОМБ(100;50) + =45*ЧИСЛКОМБ(90;48)/ЧИСЛКОМБ(100;50) = 0,00059342+0,007236825+0,037993333=0,045823578.
По формуле Бернулли
=0,9^50+50*0,1*0,9^49+ЧИСЛКОМБ(50;2)*0,1^2*0,9^48 = 0,111728756.

От того, что в доля бракованных среди выбранных будет указана в процентах, а не в количествах, ничего, конечно, не изменится. А вот если не будет дано число изделий, из которых выбирают (а будет дан лишь процент брака), то это просто схема Бернулли. Схема Бернулли возникнет также вот при такой постановке - сравните её с данной Вам: известно, что на каждые 100 деталей приходится в среднем 10 бракованных. С какой вероятностью при проверке 50 деталей (далее по тексту)... В такой постановке число белых шаров на сотню не дано, дана лишь вероятность каждому шару, независимо от прочих, быть белым.