Попробовал выразить х и у.

|x|+|y|=a -> |x|=a=|y|

Дальше такие системы получаются: x=a-|y| при x>=0; x=-a+|y| при x<0;
и вторая система: y=a-|x| при y>=0; y=-a+|x| при y<0;

Чё мне теперь 4 интеграла решать что ли? о_0

Немного - можно. Если поможет.

Кривая интегрирования - периметр квадрата , симметричного относительно осей координат. Подинтегральная функция (=ху) такова, что ее значение в любой точке кривой равно минус тому же значению в симметричной точке. Поэтому всегда можно интегральные суммы (предел которых и есть интеграл) организовать так, что они будут принимать нулевое значение. А значит и их предел (т.е. сам интеграл) =0.
Но вряд ли вы сумеете отстоять это доказательство перед преподавателем. Да и преподаватель явно расчитывал не на приведенное доказательство, а на муторный последовательный счет четырех интегралов. Так что трудитесь!