Приветствую и заранее благодарю за ответы

Всем известна данная задача:
вики

Под заголовком "Альтернативный метод" указано, как ее решить с использованием формул комбинаторики. Собственно вопрос: как написать формулу для ровно k совпадений? Все, что я родил, это A(365,23-k+1)C(23,k) подходящих вариантов из 365^23 возможных. Типа, в выборке имеем 23-k+1 уникальных дней рождения, которые умножаем на кол-во вариантов расстановок в группе тех людей, у которых ДР повторяются.

Для проверки взял, что в году 5 дней.
1. Проверял, когда идет выборка 3 человек, у 2-х одинаковые ДР:
{1,2,2},{1,3,3},{1,4,4},{1,5,5}
{2,1,1},{2,3,3},{2,4,4},{2,5,5}
...
{5,1,1},{5,2,2},{5,3,3},{5,4,4}
Это 20 вариантов. Умножаем на С(3,2)=3 (все варианты пар людей, у которых ДР совпадает), получаем 60.
A(5,3-2+1)C(3,2)=60
2. Проверял, когда идет выборка 3 человек, у 3-х одинаковые ДР:
очевидно, что вариантов 5, и формула дает верное решение.
3. Для 4-х человек и 3,4 совпадений тоже все верно.

Но если я возьму 365 дней, 23 человека, и просуммирую свою формулу по k от 2 до 23, то после деления на 365^23 получу 37.1%, а не 50.7%, как в вики. Причем вклад от первого члена - 36.3%. В чем моя ошибка, если тестовые данные верны?

Спасибо. Я наивно полагал, что удастся вывести простую формулу зависимости от k. А тут сумма...