исследовать ряд на сходимость по радикальному признаку Коши.
дан ряд argsin^n(1/n)
по формуле Lim от n до бесконечности (an)^1/2 = Lim =argsin 1/n = 0
0<1 . то ряд сходится

Во-первых, не arGsin, a arCsin. Во-вторых, не (a_n)^{1/2}, a (a_n)^{1/n}. А получится ноль, и ряд сходится.