int 2 * (x^2 + y^2) dx + (x + y)^2 dy
Криволинейный интеграл по контуру треугольника ABC
с вершинами A(-1;1), B(-1;3), C(-2;2)... plzzz
Не понятна замена в формуле Грина =(

int 2 * (x^2 + y^2) dx + (x + y)^2 dy
Область интегрирования - треугольник ABC с вершинами A(-1;1), B(-1;3), C(-2;2)

1 способ.
Строим область. Интегрирование ведется так, чтобы при обходе по кривой область интегрирования оставалась слева.
Получаем, что исходный интеграл равен I1 + I2 + I3.
Первый интеграл - интегрирование по отрезку AB
A(-1;1), B(-1;3) => x = -1, y меняется от 1 до 3.
I1 = int (AB) 2 * (x^2 + y^2) dx + (x + y)^2 dy = int (1 3) (-1 + y)^2 dy =
= int (1 3) (y^2 - 2y + 1) dy = (1/3 * y^3 - y^2 + y)_{1}^{3} =
= (1/3 * 3^3 - 3^2 + 3) - (1/3 * 1^3 - 1^2 + 1) =
= 3 - 1/3 = 8/3.
Второй интеграл - интегрирование по отрезку BC
B(-1;3), C(-2;2) => y = x + 4, x меняется от -1 до -2.
I2 = int (BC) 2 * (x^2 + y^2) dx + (x + y)^2 dy =
= int (-1 -2) (2 * (x^2 + (x + 4)^2) + (x + x + 4)^2) dx =
= int (-1 -2) (2 * (x^2 + x^2 + 8x + 16) + (2 * x + 4)^2) dx =
= int (-1 -2) (4 * x^2 + 16 * x + 32 + 4 * x^2 + 16 * x + 16) dx =
= int (-1 -2) (8 * x^2 + 32 * x + 48) dx = (8/3 * x^3 + 16 * x^2 + 48 * x)_{-1}^{-2} =
= (8/3 * (-2)^3 + 16 * (-2)^2 + 48 * (-2)) - (8/3 * (-1)^3 + 16 * (-1)^2 + 48 * (-1)) =
= (-64/3 + 64 - 96) - (-8/3 + 16 - 48) = -64/3 - 32 + 8/3 + 32 = -56/3
Третий интеграл - интегрирование по отрезку CA
C(-2;2), A(-1;1) => y = -x, x меняется от -2 до -1.
I3 = int (CA) 2 * (x^2 + y^2) dx + (x + y)^2 dy =
= int (-2 -1) (2 * (x^2 + (-x)^2) - (x - x)^2) dx =
= int (-2 -1) (2 * (x^2 + x^2)) dx = int (-2 -1) 4 * x^2 dx =
= 4/3 * (x^3)_{-2}^{-1} = 4/3 * ((-1)^3 - (-2)^3) = 4/3 * (-1 + 8) = 28/3.
Тогда
I = I1 + I2 + I3 = 8/3 - 56/3 + 28/3 = -20/3.

2 способ.
Применим формулу Грина. В нашем случае
P(x;y) = 2 * (x^2 + y^2), Q(x;y) = (x + y)^2
dQ/dx = ((x + y)^2)'_x = 2 * (x + y) = 2 * x + 2 * y
dP/dy = (2 * (x^2 + y^2))'_y = 2 * 2y = 4 * y
dQ/dx - dP/dy = 2 * x + 2 * y - 4 * y = 2 * x - 2 * y.
Получаем интеграл:
I = int (-2 -1) dx int (-x x+4) (2 * x - 2 * y) dy =
= int (-2 -1) (2 * x * y - y^2)_{-x}^{x+4} dx =
= int (-2 -1) ((2 * x * (x + 4) - (x + 4)^2) - (2 * x * (-x) - (-x)^2)) dx =
= int (-2 -1) ((2 * x^2 + 8 * x - x^2 - 8 * x - 16) - (-2 * x^2 - x^2)) dx =
= int (-2 -1) (2 * x^2 + 8 * x - x^2 - 8 * x - 16 + 3 * x^2) dx =
= int (-2 -1) (4 * x^2 - 16) dx = (4/3 * x^3 - 16 * x)_{-2}^{-1} =
= (4/3 * (-1)^3 - 16 * (-1)) - (4/3 * (-2)^3 - 16 * (-2)) =
= (-4/3 + 16) - (-32/3 + 32) = -4/3 + 16 + 32/3 - 32 = 28/3 - 16 = -20/3

Интеграл одинаков при решении 1 способом и при решении 2 способом. I = -20/3.