Здравствуйте. помогите пожалуйста доказать что оператор А и его обратный оператор А в степени (-1) имеют одни и те же собственные векторы.

Значит так. Раз существует обратный, значит оператор невырожденный. Значит его ядро нулевое. Смотрим на собственные векторы оператора A. Посмотрим на их образы. Они являются собственными векторами обратного, так если собственный вектор (g) отвечает собственному значению y, то Ag = y * g. А обратный оператор применить к Ag есть g, то есть y * g переходит в g, то есть отвечает собственному значению 1/y. Значит образ любого собственного вектор A есть собственный вектор обратного. Аналогично любой собственный вектор обратного есть прообраз собственного вектора A.
То есть изначальное утверждение неверно - у них не одни и те же собственные векторы, а пропорциональные.
Все понятно?