Здравствуйте, уважаемые. У кого есть время, проверьте, пожалуйста, решение следующей задачи:

Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число k?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа; сумма a+b, произведение a*k.

Решение.
Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия:
1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в L, т.е. верно ли, что a+b принадлежит L и a*k принадлежит L?
Введенные таким образом операции не являются замкнутыми в данном множестве. Сумма двух векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа, есть вектор трехмерного пространства, координаты которого – целые числа. Но произведение вектора на число будет вектором трехмерного пространства, координаты которого – действительные числа.
Таким образом, множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа, не является линейным пространством.