Здравствуйте, уважаемые профессионалы и специалисты

Проконсультируйте, пожалуйста, нематематика. Сколькими способами можно
разложить семь камешков по пяти кучкам (нумерованным)? Общее решение: любое число
камешков по любым фиксированным числам кучек? Если кого-нибудь не затруднит, то можно
ответить по *****@bezeqint.net
Спасибо

Получил такой ответ :
Число сочетаний из 11 по 7.

Более полный ответ с выводом полученной формулы для общего случая напишу завтра. Сейчас поду смотреть футбол - начался суперкубок!

Иными словами число сочетаний с повторениями из 7 по 5 (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

После того, как я получил конечную формулу, возникла мысль, что открываю Америку (хотя это тоже интересно!). Уж очень красивая формула получилась. Дома хороших учебников нет, а в справочнике Бронштейна-Семендяева увидел, что такая же формула описывает число сочетаний с повторениями. Раньше я о таких не знал. Прочитал о сочетаниях с повторениями в этом справочнике, но, честно говоря, мало что понял, тем более не осознал применимость к данной задаче. Но задача изначально показалась мне очень интересной, а процесс поиска решения доставил удовольствие. Поэтому (и не только) привожу свое решение.
Сразу (как Вы и хотели) обобщим задачу (заодно заменим камешки и кучки более привычными шарами и ящиками):

Сколькими способами можно разложить k НЕРАЗЛИЧИМЫХ шаров по n пронумерованным ящикам ( номерами 1,2,…,n).

Обозначим через P(n,k) число способов, которыми можно разложить k НЕРАЗЛИЧИМЫХ шаров по n пронумерованным ящикам ( номерами 1,2,…,n). Нужно найти формулу для P(n,k). Выведем сначала рекуррентную формулу. В первом ящике может находится 0,1,…,k шаров. Суммируем количества вариантов по всем этим случаям.
1) Посчитаем число вариантов для случая, когда в первом ящике шаров не оказалось (0 шаров). Тогда осталось посчитать число вариантов, которыми можно оставшиеся шары (их опять k штук) раскидать по оставшимся (n-1) ящикам. По нашему соглашению число таких вариантов по нашим обозначениям есть P(n-1,k).
2) Посчитаем число вариантов для случая, когда в первом ящике находится 1 шар. Тогда осталось посчитать число вариантов, которыми можно оставшиеся шары (их k-1 штук) раскидать по оставшимся (n-1) ящикам. По нашему соглашению число таких вариантов по нашим обозначениям есть P(n-1,k-1).
3) Посчитаем число вариантов для случая, когда в первом ящике находятся 2 шара. Тогда осталось посчитать число вариантов, которыми можно оставшиеся шары (их k-2 штук) раскидать по оставшимся (n-1) ящикам. По нашему соглашению число таких вариантов по нашим обозначениям есть P(n-1,k-2).
.
.
.

k+1) Посчитаем число вариантов для случая, когда в первом ящике находится все k шаров. Тогда осталось посчитать число вариантов, которыми можно оставшиеся шары (их 0 штук) раскидать по оставшимся (n-1) ящикам. По нашему соглашению число таких вариантов по нашим обозначениям есть P(n-1,0) (ясно, что вариант такой один – по 0 шаров в каждый ящик).
Итак, получили рекурентную формулу:

(*) P(n,k)=P(n-1,k)+ P(n-1,k-1)+ P(n-1,k-2)+…+ P(n-1,0)

Ясно, что для любого k: P(1,k)=1.
Тогда по (*)

P(2,k)=P(1,k)+ P(1,k-1)+ P(1,k-2)+…+ P(1,0) = k+1
P(3,k)=P(2,k)+ P(2,k-1)+ P(2,k-2)+…+ P(2,0) = (k+1)+k+…+1=(k+1)*(k+2)/2 (арифм. прогр.)
P(4,k)=P(3,k)+ P(3,k-1)+ P(3,k-2)+…+ P(3,0) = =(k+1)*(k+2)/2 + k*(k+1)/2+…+1*2/2=(k+1)*(k+2)*(k+3)/6 (вывел).

Просматривается такая формула
P(n,k)=[k+1]*[k+2]*…*[k+(n-1)]/(n-1)!
Более компактно эта формула может быть записана в виде (убедитесь)

(**) P(n,k)=С(k+n-1,k)

Справа число сочетаний из k+n-1 по k. Для уверенности проверил ее для случая трех шаров и трех ящиков. По (**) получаем 10. Непосредственно перебираем варианты:
300,210,201,120,102,111,030,003,021,012
- те же 10 вариантов.
Но (**) надо доказать строго.
Докажем ее индукцией по n c учетом (*).

n=1 – верно.

Пусть формула (**) выполнена для числа n (т.е. выполнено (**) для всех натуральных k и данного числа n), докажем, что она верна для n : = n+1, т.е. что выполняется:

P(n+1,k)=С(k+n,k).

По (*) и (**) получаем:

P(n+1,k)=P(n,k)+ P(n,k-1)+ P(n,k-2)+…+ P(n,0)=С(k+n-1,k)+ С(k+n-2,k-1)+…+ С(n-1,0)= С(k+n,k) (есть такая формула для такой суммы в свойствах биномиальных коэффициентов).

Что и требовалось доказать. Итак, справедлива формула (**). Америка открыта!

P.S. Nutik, рад Вашему возвращению (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif) . Буду рад, если проясните про сочетания с повторениями.