Здравствуйте. Помогите пожалуйста с решением: Функция плотности распределения f(x) случайной величины Х задана графически. Найти коэффициенты а и в, записать выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание М(х), среднее квадратичное отклонение и вероятность P(0<X<0.5).

Решение:
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - 00 до +00 равен единице.

интеграл (от -00 до +00)f(x)dx=1
тогда для нахождения коэффициента а находим: интеграл (от 0 до в) ахdx=1 => a=1/(от 0 до в) хdx =>
a=1/x^2/2 (от 0 до в) подскажите пожалуйста как можно найти коэффициент В

Получается так?

Из того условия, что f( b ) = 2.

значит нужно находить интеграл (от до )f[B]=2, границы будут (от -00 до +00)?

Оффтоп: это не функция распределения задана графически, а плотность. Скажете на экзамене, что функция распределения может значение 2 принимать, столько и поставят...

Как связаны a и b, если f(b )=2?

тогда y=ax => 2=ab => b=2/a

а=2/x^2(от 0 до 2/a )
Правильно?

это - да.

А первый интеграл от плотности, равный 1, где Вы до ума-то довели?


как отсюда выражается а через в?

a=2/x^2 (от 0 до 2/a)
тогда a=2/((2/a)^2-0) =>а= 2*(a^2)/4 =>а=2
b=2/a =>b= 2/2 => b=1


а) записать выражение для f(x):
0, x<0
2*x, 0<=x<=1
0, x>1

б) F(x)= интеграл (а до b ) f(x)dx
если x<0, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0
если 0<=x<=1, f(x)=2*x, то F(x)= интеграл (0 до 1) 2*x dx=x^2 (0 до 1) = х
если x>1, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0

F(x):
0, x<0
х, 0<=x<=1
0, x>1

Это верно.

Функцию распределения теперь доведите до ума.

б) F(x)= интеграл (а до b ) f(x)dx
если x<0, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0
если 0<=x<=1, f(x)=2*x, то F(x)= интеграл (0 до 1) 2*x dx=x^2 (0 до 1) = 1
если x>1, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0

в) математическое ожидание М(х):
М(х)=интеграл (от 0 до 1) х*f(x)
при f(x)=0
М(х)=интеграл (от 0 до 1) х*0=0
при f(x)=2*х
М(х)=интеграл (от 0 до 1) х*2*хdx=2*(x^3/3) (от 0 до 1)=2/3
при f(x)=0
М(х)=интеграл (от 0 до 1) х*0=0

г) для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины необходимо найти Дисперсию случайной величины:
Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения :
D(x)=интеграл (a до b )f(x)(x-M(X))^2dx=интеграл (a до b )f(x)*(x^2)dx-(M(X))^2=интеграл (a до b )f(x)*x^2dx-(интеграл (a до b )f(x)*x*dx)^2
при f(x)=0
D(x)=интеграл (0 до 1) 0*(x^2)dx-0=0
при f(x)=2*х
D(x)=интеграл (0 до 1) 2*x*(x^2)dx-(2/3)^2=1/2-4/9=1/18
при f(x)=0
D(x)=интеграл (0 до 1) 0*(x^2)dx-0=0

Среднее квадратическое отклонение случайной величины
o=(D(X))^1/2
o=0
o=1/(18^(1/2))
o=0

д) вероятность P(0<X<0.5)
P(0<X<0.5)=интеграл (0 до 0.5) f(x)dx=интеграл (0 до 0.5) 2xdx=x^2 (от 0 до 0.5)=0.25

Найдите и выучите, как правильно выражается функция распределения через плотность. Это не есть интеграл от а до b. Как минимум, F(x) должна зависеть от х.

Математическое ожидание - это ОДИН интеграл, а не десять. То же самое - для дисперсии.

f(x)=F'(x) =>F(x)=интеграл (а до b ) f(x)dx

математическое ожидание М(х): М(х)=интеграл (от 0 до 1) х*f(x)=интеграл (от 0 до 1) х*0dx+интеграл (от 0 до 1) х*2*хdx+интеграл (от 0 до 1) х*0=2*(x^3/3) (от 0 до 1)=2/3

дисперсия: D(x)=интеграл (0 до 1) 0*(x^2)dx-0+интеграл (0 до 1) 2*x*(x^2)dx-((2/3)^2)+интеграл (0 до 1) 0*(x^2)dx-0=интеграл (0 до 1) 2*x*(x^2)dx-((2/3)^2)=x^4/2 (от 0 до 1)=1/2-4/9=1/18

среднее квадратическое отклонение случайной величины:
o=(D(X))^1/2
о=1/(18^(1/2))

Я Вам для чего исправляла:
F(x)= интеграл (а до b ) f(x)dx
если x<0, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0
если 0<=x<=1, f(x)=2*x, то F(x)= интеграл (0 до 1) 2*x dx=x^2 (0 до 1) = х
если x>1, f(x)=0, то F(x)= интеграл (0 до 1) 0 dx=0
+malkolm:


А Вы все равно свое...(IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Что такое функция распределения??? Интеграл в каких пределах от плотности её определяет??

F(x)= интеграл (-00 до x ) f(x)dx
если x<=0, f(x)=0, то F(x)= интеграл (-00 до x) 0 dx=0
если 0<x<=1, f(x)=2*x, то F(x)=интеграл (-00 до 0)0dx+интеграл (0 до x) 2*x dx=x^2 (0 до x)=x^2
если x>1, f(x)=0, то F(x)= интеграл (-00 до +00)0dx+интеграл (0 до 1) 2*x dx+интеграл (1 до x) 0 dx=1
так правильно?

Да.

математическое ожидание М(х): М(х)=интеграл (от -00 до +00) х*f(x)=интеграл (от -00 до 0) х*0dx+интеграл (от 0 до 1) х*2*хdx+интеграл (от 0 до +00) х*0=2*(x^3/3) (от 0 до 1)=2/3

дисперсия: D(x)=интеграл (-00 до 0) 0*(x^2)dx-0+интеграл (0 до 1) 2*x*(x^2)dx-((2/3)^2)+интеграл (1 до +00) 0*(x^2)dx-0=интеграл (0 до 1) 2*x*(x^2)dx-((2/3)^2)=x^4/2 (от 0 до 1)=1/2-4/9=1/18

среднее квадратическое отклонение случайной величины:
o=(D(X))^1/2
о=1/(18^(1/2))

Подскажите пожалуйста как построить на графике функции распределения и на графике функции плотности распределения f(x) математическое ожидание М(x) и среднее квадратическое отклонение о(X).
график функции распределения , график функции плотности распределения f(x) .

Посчитали верно. А вот что на графиках отображают стрелочки у непрерывных функций???
Точку M(X)=2/3 отобразить на оси абсцисс. А дисперсию и СКО вряд ли можно изобразить как-то на графике.

Я перепутал, не нужны стрелки.

Спасибо Вам большое за помощь и терпение!!!