Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить теоретические задачи. Я надеюсь, что они уже есть у кого-то или были решены ранее в разных книгах. Или может кто-то знает, как их делать.

Доказать, что понятие кривой второго порядка не зависит от выбора системы координат.

Доказать, что элементарные преобразования, допустимые в процессе нахождения ранга матрицы её ранг не меняют.

Квадратная матрица называется кососимметрической, если для всех i, j aji = -aij .
Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.

Доказать, что фундаментальная система решений однородной системы, построенная стандартным образом, является базисом пространства решений данной системы.

Доказать, что метод элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы позволяет найти данную обратную матрицу.

Пишу то, что сразу пришло в голову.

1.«Доказать, что понятие кривой второго порядка не зависит от выбора системы координат.»
Кривая наз. kривой второго порядка, если в некоторой прямоугольной системе координат ее уравнение имеет вид:
(1) a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y+f=0
Пусть имеется кривая второго порядка, а потому в некот. сист. координат xOy она имеет уравнение вида (1).
Докажем, что в любой другой прямоуг. системе координат x'Oy' ее уравнение тоже будет тоже иметь вид (1) (это и надо доказать). Связь координат точки в любых двух прямоуг. системах координат имеет вид (т.к. системы переходят друг в друга некоторым поворотом и сдвигом):
x=a1*x'+b1*y'+c1
y=a2*x'+b2*y'+c2

Подставляя эти выражения в (1), раскрывая скобки и приводя подобные - опять получим уравнения вида (1) (пусть и с другими коэффициентами). Что и требовалось.



2." Доказать, что элементарные преобразования, допустимые в процессе нахождения ранга матрицы её ранг не меняют."
Думаю, так.
Пользуемся тем, что при элементарных преобразованиях определителя его значение не меняется.
Элементарные преобразования всей матрицы приводят к тем же элементарным преобразованиям любого из ее миноров (если в начальном преобразовании участвуют строки или столбцы, входящие в данный минор), а потому не меняют числовые значения миноров. Поэтому и ранг не изменится.



3. "Квадратная матрица называется кососимметрической, если для всех i, j aji = -aij .
Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю."

Пользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а общий множитель любой строки можно выносить за знак определителя.

Пусть определитель =а.
Если кососимметрическую матрицу транспонировать, а потом из каждой строки вынести множитель (-1), то получится снова исходная матрица (проверьте), а потому ее определитель не изменится. С другой стороны при описанных преобразованиях из определителя должен вынестись множитель (-1) в нечетной степени, т.е. (-1).
Итак, а=-а, т.е. а=0.

Остальные два свойства надо найти в учебниках - они там доказываются при формулировке этих свойств.

спасибо Вам, venja

Не могли бы отсканить и прикрепить?

Вас «ломает» заглянуть в учебник?

да у меня нет нормального учебника по линалу. Только покупной по практике. Если у кого-то есть и он згает где, то я думаю несложно помочь

посмотрите
http://books.sakhgu.sakhalin.ru/Volume%201...%d0%b2/?C=N;O=A

Есть такие замечательные поисковые системы: http://www.google.ru/, http://www.ya.ru/, http://mail.ru/, ... Или вы с ними тоже не знакомы?

Ничего себе запрос. У преподов требует что-то отсканировать и выложить Вам для обозрения. Во народ пошел!

Говорят, что наглость — это второе счастье...