int(0;1)(x^1/2)*sin(x/2)dx

как это разложить в степенной ряд?
ладно синус отдельно, а как произведение? подскажите, пожалуйста ход решения.

Вам нужно разложить синус в ряд затем каждое слагаемое умножить на x^(1/2) и взять интеграл от каждого слагаемого. Дальше нужно задаться (если не задано) точностью вычисления, например 0.01 и выяснить какое слагаемое меньше или равно 0.01. Например, третье слагаемое меньше или равно 0,01, сл-но нужно взять сумму первых трех слагаемых. Если Вас интересует точность 0,0001, то слагаемых для суммирования придется брать больше. В книге Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по матанализу есть много примеров. На всей области интегрирования ряд обязательно должен быть сходящимся!