int(0;1)(x^1/2)*sin(x/2)dx

как это разложить в степенной ряд?
ладно синус отдельно, а как произведение? подскажите, пожалуйста ход решения.

Раскладывайте синус в ряд и домножайте каждое слагаемое на x^1/2.

а вы не могли бы объяснить, почему именно так?
или хоть где в теории это найти.

А почему не так? Что нам запрещает это делать?

хм.. скажем так, у меня есть некоторые пробелы в теории рядов, но мы разве так вот запросто можем выносить множитель?
я не могу никак найти у себя подробностей разложения в степенные ряды похожих выражений.

Можем.
(x^1/2)*sin(x/2)=(x^1/2)*(a1+a2+a3+a4+a5+a6......)
где (a1+a2+a3+a4+a5+a6......) - разложение sin(x/2) в ряд Маклорена в виде многочлена n-ой степени. Чем больше слагаемых возьмем, тем точнее будет вычислен интеграл.

В любом учебнике по ВМ вы можете найти теорему о том, что постоянный множитель можно вынести за знак суммы (соответственно и внести).

То есть х мы считаем постоянным, потому что интеграл у нас дан в определённом интервале?
Dimka, Руководитель проекта, спасибо вам, у нас был очень поверхностный курс лекций по рядам, так что я тут пытаюсь как-то сама с ними разобраться.

Вам нужно разложить синус в ряд затем каждое слагаемое умножить на x^(1/2) и взять интеграл от каждого слагаемого. Дальше нужно задаться (если не задано) точностью вычисления, например 0.01 и выяснить какое слагаемое меньше или равно 0.01. Например, третье слагаемое меньше или равно 0,01, сл-но нужно взять сумму первых трех слагаемых. Если Вас интересует точность 0,0001, то слагаемых для суммирования придется брать больше. В книге Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по матанализу есть много примеров. На всей области интегрирования ряд обязательно должен быть сходящимся!