Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Теория вероятностей _ Доказать неравенство (предельные теоремы)

Автор: AndruL 11.2.2010, 20:31

Есть задачка: Доказать, что если M(exp(aX)) существует, то P{X > e} <= exp(-ae)*M(exp(aX)), a > 0
Помогите пожалуйста решить задачку, я понимаю что необходимо использовать характеристическую функцию, но не понимаю как sad.gif

Автор: malkolm 12.2.2010, 3:28

О_о... при чём тут вообще характеристические функции?

Какие неравенства знаете для P(X > e), где X > 0, e > 0?

Автор: Juliya 12.2.2010, 7:43

я смотрю, народ так и тянет на характеристические функции.. smile.gif как ехр встретили - все ..она!! bigwink.gif

ТС, у Вас в названии темы написано, что Вам надо использовать..smile.gif

Автор: malkolm 12.2.2010, 14:45

Боюсь, что предельные теоремы тут совсем ни с какого боку smile.gif Автор, ответ будет?

Автор: Juliya 12.2.2010, 17:40

ну ЗБЧ исторически идет рядом с предельными, поэтому как-то и связаны в голове...smile.gif

Автор: AndruL 12.2.2010, 21:29

Насколько мне известно, ЗБЧ и ЦПТ входят в одну главу и считаются подразделами предельных теорем! Причём тут характеристическая функция, ответ прост - разве не она используется для доказательства ЦПТ ? А с учётом того, что я плохо понимаю какую из пред.теорем использовать, я подумал так, да, конечно же из-за того, что увидел экспоненту smile.gif Но больше конечно склоняюсь к неравенству Чебышева!
Но возникает вопрос: какие-такие манипуляции надо сделать, чтоб на него выйти, ибо я если честно вообще не понимаю как связана вероятность СВ X и совершенно другой СВ M(exp(aX))

Автор: malkolm 13.2.2010, 19:25

Как связаны события {X > e} и {exp(aX) > exp(ae)}?

З.Ы. Никакие ЗБЧ, ЦПТ, характеристические функции тут одинаково ни при чем.

Автор: Juliya 13.2.2010, 21:13

разве здесь не лемма (неравенство) Маркова? blush.gif

Оно, конечно, по смыслу не ЗБЧ, но исторически идет в этой теме...

Автор: malkolm 14.2.2010, 7:18

Исторически в этой теме могут идти даже неравенства с модулями на числовой прямой, ряды Тейлора и формула Эйлера в комплексном анализе. Предельные теоремы - это всякие ЗБЧ, теорема Пуассона, ЦПТ в разных формах, законы повторного логарифма, арксинуса, теоремы о больших уклонениях и прочие предельные теоремы. Вероятностные неравенства - это всё же неравенства.

Автор: Juliya 14.2.2010, 13:19

Абсолютно согласна. Предельные - значит в пределе, при n->oo

здесь неравенство ни разу не предельное, просто обычно встречающееся именно в этой теме ТВ. прошу прощения за неточности...

Автор: malkolm 14.2.2010, 17:39

Да ладно, вот только автор что-то не спешит решать задачу...

Автор: AndruL 16.2.2010, 18:45

Извините, что не пишу сразу, нет времени каждый день на форум заходить smile.gif
Спасибо за лемму Маркова, если честно то о такой не подозревал ...
вот так тогда доказать возможно ? посмотрите пожалуйста bigwink.gif


Эскизы прикрепленных изображений
Прикрепленное изображение

Автор: malkolm 16.2.2010, 19:54

Ну и так можно, вот только зачем повторять доказательство неравенства Маркова (да ещё и в частном случае - только для абсолютно непрерывных распределений)?
Есть готовое неравенство P(Y > c) <= EY / c , Y > 0, c > 0.
P(X > e) = P(exp(aX) > exp(ae)), ну и примените неравенство Маркова к последней вероятности.

Если не было нер-ва Маркова, то как без него доказывалось нер-во Чебышёва?

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)