Версия для печати темы

Автор: Uropb 20.1.2010, 16:44

int e^x*cos(x)dx=?
брал:
u=e^x
du=e^xdx
dV=cos(x)dx
v=-sin(x)
интегрирую интугрирую и ответа не получается...пример бесконечный чтоли или у меня мозг поплавился?
помогите пожалуйста=)

Автор: Uropb 20.1.2010, 17:24

Решение.

1. Представим данный интеграл в виде
∫ ex · (sinx)' dx.


Используя формулу интегрирования по частям
∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx


с U(x) = ex и V(x) = sinx , получаем:
∫ ex · (sinx)' dx = ex · sinx − ∫ (ex)' · sinx dx. (2)


2. Последний интеграл представим в виде
∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx


и применим формулу интегрирования по частям
∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx


с U(x) = ex и V(x) = cosx . Получаем
∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx = − ex · cosx + ∫ (ex)' · cosx dx = − ex · cosx + ∫ ex · cosx dx (3)


3. Сопоставляя (2) и (3), получаем:
∫ ex · cosx dx = ex · sinx + ex · cosx − ∫ ex · cosx dx .


Прибавляя к обеим частям этого равенства ∫ ex · cosx dx и учитывая, что ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx равно не нулю, а произвольной постоянной C , имеем:
2 ∫ ex · cosx dx = ex · sinx+ex · cosx + C.


Поэтому
∫ ex · cosx dx = (ex · sin x + ex · cos x)/2 + C1 ,

Автор: tig81 20.1.2010, 18:28

Рассуждения верны, ответ тоже.

Автор: Uropb 20.1.2010, 19:04

благодарю...но завтра точно будит пример в 5раз труднее=)

Автор: tig81 20.1.2010, 19:14