Версия для печати темы

Автор: matal 11.6.2007, 15:01

cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=1/2

Помогите плиз, пробовал через формулы суммы, половинного угла, двойного, но ничего не выходит(

Да, и если вас не затруднит, посмотрите пожалуйста http://www.prepody.ru/topic833.html тему...

Автор: Dimka 11.6.2007, 15:19

Может
cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=-1/2?

Автор: matal 11.6.2007, 15:21

Да-да, я тоже так думаю, думал я ошибаюсь (оказывается нет). В учебнике просто написано 1/2.
Но все равно у меня не получается решить(

Автор: venja 12.6.2007, 5:36

Конечно (-1/2).

cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=2sin(pi/7)*[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)]/2sin(pi/7)=

[2sin(pi/7)*cos(2pi/7)+2sin(pi/7)*cos(4pi/7)+2sin(pi/7)*cos(6pi/7)]/2sin(pi/7)

Теперь осталось в числителе 3 раза по формуле преобразовать произведение синуса на косинус в сумму.

Автор: Dimka 12.6.2007, 6:58

Мда, в соответствии с американской системой образования рациональнее взять калькулятор (таблицу Брадиса) и вычислить, задав любую степень точности. Время вычисления около 1-2 с. Время доказательства тождества вручную 0,5 дня. Это сообщение можно не коментировать.

Автор: matal 12.6.2007, 7:01

спасибо, буду пробовать

Автор: venja 12.6.2007, 10:12

И все же не могу отказать себе в удовольствии.



Посмотрел бы я, как с помощью таблицы Брадиса Вы проведете вычисления "задав любую степень точности". Калькулятор тоже имеет ограниченное число разрядов. К тому же задание соостояло в том, что надо доказать, что данное выражение равно -1/2 и ни на йоту меньше или больше. Даже если Вы возьмете мощный компьютер, то не сможете меня убедить в том, что данная сумма не равна
- 0.49999999........998 (например, миллион знаков после запятой или миллиард, если миллион Вас не убедит). Кстати, с миллиардом знаков Вы потратите на вычисления значительно больше времени, чем я потратил на аналитическое доказательство, к которому при все желании придраться невозможно.
Далее, студент, тренируя гибкость мозгов и навыки нестандартного мышления на поиске аналитического решения подобных задач, в будущем найдет нестандартный выход и в другой сложной экономической, физической, жизненной и т.д. проблемы. А решение вышеизложенной задачи очередным нажиманием кнопок на компьютере практически ничем не обогатит мозг студента.



А это,уж извините, у кого как.

P.S. А жаль, что Вы не взглянули на ту статью
P.P.S. Это сообщение тоже можно не комментировать.

Автор: Dimka 12.6.2007, 16:46

В данном случае задача была надумана составителем учебника и ответ получился хорошим. Стоит только немного изменить, например cos(6Pi/7) на cos(3Pi/7), и Ваши преобразования не приведут к "хорошему" результату. Ответ может получиться в иррациональных числах, выражающихся в конечном итоге бесконечными десятичными дробями - а это опять погрешность.
"Хорошие" ответы в нестандартных физических, экономических, жизненных ситуациях, если не делать определенных допущений, практически не встречаются. В советское время, когда я учился в школе (1985-1995г) небыло компьютеров, нас учили упрощать выражения, чтобы свести к минимуму вычислительную работу (при большом количестве делений и умножений погрешность результата увеличивается!). Сейчас с появлением компьютера эта необходимость отпала. Поэтому, рациональнее всего пользоваться универсальными методами - компьютер. В технике точность в миллионы знаков после запятой не нужна, достаточно 3-4 знака. Гибкость мозгов такие задачи действительно тренируют, но по окончании раздела "тригонометрия" гибкость ослабевает и студент забывает. Спрашивается на кой черт это проходили?

Статью прочитал давно, соглашусь с польским преподавателем.

Автор: venja 13.6.2007, 6:15

Да неужели Вы могли подумать, что если бы мне подобная сумма втретилась в процессе численного решения прикладной физической задачи (коих я за свою жизнь нарешался немеряно),то я стал бы искать аналитическое решение? Да ни в коем разе!
Но данная УЧЕБНАЯ задача преследовала СОВСЕМ ДРУГИЕ дидактические цели. Задача состояла не в том, чтобы вычислить сумму с определенной точностью (с возможным использованием вычислительной техники), а ДОКАЗАТЬ, ЧТО ... . А это, как говорится, две большие разницы. А о том, какая точность достаточна для решения прикладных физических задач, я, поверьте, знаю.



Неужели Вы думаете, что при изучении математики нестандартные задачи, развивающие мозги, встречаются только в разделе "тригонометрия". При правильном (с моей точки зрения) обучении такие задачи должны даваться периодически.Чисто вычислительные задачи тоже обязательно должны даваться, а соотношение тех и других должно определяться направленностью ВУЗа.



Именно этого мне и хотелось. Спасибо.

P.S. Честно говоря, я опасался, что Вы мне на предыдущее послание ответите в привычном тоне.
Но Вы меня приятно удивили. В ТАКОМ тоне я готов обсуждать любые проблемы.

P.P.S. И напоследок совет (дружеский!). Почаще в речи (да и в мыслях!) используйте фразы: по моему мнению; кажется; я думаю, что; возможно; и т.п.

Автор: Руководитель проекта 13.6.2007, 9:17

Очередной раз с большим удовльствием прочитал дискуссию по поводу взглядов на современное образование. Приведу и свое мнение.

Как всегда, я по большей части на стороне Вениамина, т.к. взгляды на обучение у нас примерно одинаковые (вот только мне остается завидовать его квалификации и знаниям). Хотя и с Дмитрием можно также согласиться по поводу того, что компьютер является необходимой составляющей современной жизни. Сам практически не отхожу от него — день начинается с того, что я его включаю, а заканчивается тем, что выключаю.

Не соглашусь с тем, что гибкость мозгов будет ослабевать. Одна из моих основных задач при проведении практических занятий со студентами — это заставить их думать, напрягать свои мозги, т.к. симплекс-метод, например, они забудут через полгода (а то и раньше), а умение думать уже никуда не денется.

Вопрос к Дмитрию. Когда у вас появился собственный компьтер? И неужели с его появлением вы стали думать лучше?

P.S. Вениамин уже доказывал, что человек умнее машины. Например: http://www.prepody.ru/topic82.html

Автор: Dimka 13.6.2007, 10:00

К сожалению, стал больше допускать ошибок при ручных преобразованиях больших выражений. Раньше я это делал вручную, а сейчас - лень, ведь есть Maple. Преобразования вручную делаю только в том случае, когда не могу объяснить компьютеру, что я от него хочу. Однако, с использованием компьютера, существенно экономиться время при промежуточных преобразованиях и сокращаются ошибки. С появлением компьютера думать стал не лучше, а больше, но это стоит того. Компьютер начал использовать, когда учился в аспирантуре и писал диссер. При анализе сложных эл. цепей приходилось работать с буквенными выражениями с огромным числом слагаемых, в каждом слагаемом по 5-7 букв. Длина таких выражений, если так можно сказать, при не размашестом почерке достигала около 1-2 метров. Такие выражения нужно было перемножать, приводить к общему знаменателю, а от получившейся величины нужно было находить оригинал (операционное исчисление). Ручной анализ был неприемлем ни при каких условиях, т.к. часто допускались ошибки, скорость преобразования была крайне низкая, результативность никакая. Найти ошибки в этой каше было практически не возможно, поэтому компьютер стал спасением.

Автор: venja 13.6.2007, 15:33

Р.П., Вы меня смущаете

Поверьте, во многих областях математики (а не математики тем более) мои знания достаточно скудны.
Да и задач, с которыми компьютер справится лучше меня, гораздо больше, чем остальных.
Но все равно спасибо за лестную оценку

Автор: AlexDemche 13.6.2007, 15:49

Скажите, а что же за статья, которая несколько раз упоминается?

Автор: Lion 13.6.2007, 17:10

Александр, статья здесь
http://www.prepody.ru/topic886.html

А вот уже она и здесь появилась (см. ниже)

Автор: venja 13.6.2007, 17:14

Очень интересная статья о западном пути развития математического образования.

 ________________________.rtf ( 102.69 килобайт ) Кол-во скачиваний: 233

Автор: AlexDemche 13.6.2007, 18:04

Ааа...я ее уже читал...интересная...

Автор: venja 14.6.2007, 2:58

В продолжение интересное интервью Арнольда на эту же тему.

 ____________________________________.rtf ( 134.37 килобайт ) Кол-во скачиваний: 233

Автор: Руководитель проекта 14.6.2007, 6:57

Прошли те времена, когда один человек мог обладать всеми знаниями, которые накопило человечество...

Он лишь считает, но не думает. Компьютер — это всего лишь инструмент. И если человек не поставит ему задачу, то и решать он ничего не будет.

Жопалуйста

Автор: venja 14.6.2007, 7:40

Если это опечатка, то

Автор: Руководитель проекта 14.6.2007, 9:08

Не совсем опечатка. Ситуация была у знакомых.
Играли они в волейбол и мяч улетел в сторону. Подняла его маленькая девочка и возвращает, говоря при этом,
— Сипабо (перепутала и слово, и последовательность букв ).
На что парень, который принял мяч, ответил
— Жопалуйста.
Вот иногда я и использую эту «очепятку»