Версия для печати темы

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 13:44

Разложить по формуле Маклорена до O(x^3) функцию:
y=x*ln(1-x/2)-cosX+1

Есть вопрос, правильно ли я всё делаю:

1)
f(x) = x*ln(1-x/2)
f'(x) = ln(1-x/2) - x/(2-x)
f''(x) = -1/(2-x) - 2/(2-x)^2 = (x-4)/(2-x)^2
f'''(x) = [ (2-x)^2 + 2(2-x)(x-4) ]/(2-x)^4 = -(x^2+8x-12)/(2-x)^4

f(0)= 0
f'(0)= 0
f''(0)= -1
f'''(0)= -3/4


2)
f(x) = -cosX
f'(x) = sinX
f''(x) = cosX
f'''(x) = -sinX

f(0)= -1
f'(0)= 0
f''(0)= 1
f'''(0)= 0

А дальше составляю формулу:

y= -3x^3/24 + ... + (-1)^(n-1) * (-x/2)^(n+1) / n + ... + (-1)^(n+1) * x^2n / (2n)!

Но что-то мне кажется что я допускаю фатальную ошибку 8(

Автор: tig81 15.12.2009, 14:55

А вам ряды Маклорена надо получить или можно воспользоваться готовыми разложениями?

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 15:14

Разложить по формуле Маклорена до O(x^3) функцию:
y=x*ln(1-x/2)-cosX+1

Вот так задание и звучит, а вот дальше я не знаю как правильно выполнить, сначала пробовал по готовой формуле ln(1+x) и cosX,
потом посмотрел занятия на семинаре, и сделал через производные дописав формулы ряда.

Автор: tig81 15.12.2009, 16:24

Это замечательно, что вы знаете как получить разложения,но мне кажется, что достаточно воспользоваться готовыми.

Т.е.? ВЫ дописали n-ый член ряда... Или не то?

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 16:37

Да, но вот что получается, если с cosX проблем нету то с ln(1-x/2) мне кажется я ошибся, ведь он умножается на x в формуле: y = x*ln(1-x/2)

и если формулу n-го элемента тоже умножить на х:
(-1)^(n-1) * (-x/2)^(n+1) / n
То получается что для 3го элемента ряда степень х будет 4-ой, а у меня 3-ая, если посмотреть как я раскладывал.

Поэтому мне кажется что либо я неправильно разложил, либо неправильно представляю x*ln(1-x/2)

Автор: tig81 15.12.2009, 16:41

Запишите ряд для логарифма, а затем каждое слагаемое умножьте на х.

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 16:48

То есть, получается тут x*ln(1-x/2), х выступает просто как множитель? И его при разложении что-то вроде как константу рассматривать?

Автор: tig81 15.12.2009, 16:51

при каком разложении?
Напишите сначала ряд для ln(1-x/2). Потом будем двигаться дальше.

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 17:12

ln(1-x/2) = -x/2 - x^2/8 - x^3/24 +...

x*ln(1-x/2) = -x^2/2 - x^3/8 - x^4/24 +...

cosX = 1 - x^2/2 + x^4/24 +...

-cosX = -1 + x^2/2 - x^4/24 +...

Автор: tig81 15.12.2009, 20:57

Верно. Теперь записывайте заданное выражение.

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 21:34

y = -x^3/8 - x^4/12 +...+ (-1)^(n-1) * (-x/2)^(n+1) / n + ... + (-1)^(n+1) * x^2n / (2n)!

Вот так?

Автор: tig81 15.12.2009, 21:37

Вам оставить члены до какого порядка? И что тогда получится?

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 21:39

То есть саму формулу писать не надо в конце? Просто что получилось? Считать надо до 3го.

Автор: tig81 15.12.2009, 21:47

Т.е. я тоже так задание поняла, оставить надо члены до третей степени включительно (если я опять о-малое с о-большим не перепутала )

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 21:50

Там О большое, кстати, а что за О ? Где почитать можно?

Автор: tig81 15.12.2009, 21:53

В книгах, интернете , а точнее где-то http://www.google.com.ua/search?q=%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B5+%D0%B8+%D0%BE-%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%BE%D0%B5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:ru:official&client=firefox

Автор: Furi-Ra? 15.12.2009, 22:00

Хм вроде смысл уловил, надо лекции поднимать, но как я понял в данном случае это означает ограничение до 3го порядка?
В общем спасибо вам 8) Теперь могу спокойно ргрку сдавать 8)

Автор: tig81 15.12.2009, 22:21

вроде да