Версия для печати темы

Автор: olsa 3.12.2009, 15:15

здравствуйте.
пример y''+4y=sin2x+1 при y(0)=1/4 y'(0)=0
смысл в чем,
y=Y+z
определил
Y=C1cos2x+C2sin2x
z=x(Acos2x+Bsin2x)
определил z' и z''
вопрос не знаю, что делать с 1
представил как cos^22x+sin^22x=1
т.е.
sin2x+1=(1+sin2x)sin2x+cos2xcos2x
получил
A=-(1+sin2x)/4
B=cos2x/4
т.е.
z=-1/4*x*cos2x
и
y=C1cos2x+C2sin2x-1/4*x*cos2x
bи дальше опять вопрос
после определения y''
и при подстановке в первоначальное уравнение y и y'' коэффициенты С1 и С2 сокращаются. как их найти?
может где по ходу решения допустил ошибку?
спасибо..

Автор: граф Монте-Кристо 3.12.2009, 21:08

Ваше частное решение будет состоять из двух - одно для уравнения,в котором справа стоит только синус, другое - для уравнения,у которого справа стоит только единица.

Автор: olsa 3.12.2009, 21:17

что-то не понял.
получается система двух уравнений.
с синусом понятно-решить легко, а вот с единицей-разложить через квадраты синуса и косинуса.
а как потом связать, или по-другому.
я с таким не сталкивался...
P.S. сам с отличием закончил вышку, а сейчас брату помогаю, в этом примере загвоздка получилась-не могу разобраться.

или, если правильно понял, то к основному решению (Y) будет прибавляться два частных, через синус и единицу?
тогда единицу через что разложить-через сумму квадратов?
поясните, пожалуйста...

Автор: граф Монте-Кристо 3.12.2009, 21:38

Не надо раскладывать на сумму квадратов. Единицу следует рассматривать как многочлен нулевой степени,и в таком же виде(то бишь в виде многочлена нулевой степени) искать решение.

Автор: olsa 4.12.2009, 16:20

то есть получится система:
y''+4y=sin2x и y''+4y=1
и для каждого найти z1 и z2
и y=Y+z1+z2
так что ли.
но ведь такое решение в сути не верное.
а по другому я не понял как.
поясните, пожалуйста.

Автор: tig81 4.12.2009, 16:47

Как такое получили?

Автор: граф Монте-Кристо 4.12.2009, 17:19

Почему неправильно? Вам нужно найти частное решение. Если z1 - частное решение системы с синусом, а z2 - c единицей, то, очевидно, Z=z1+z2 будет решением системы с суммой единицы и синуса в правой части.

Автор: olsa 4.12.2009, 17:25

странно, но попробую...
спасибо...



извините, не система, я не так выразился.
получится два уравнения, для каждого из которых нужно найти частное решение.
но разве такое может быть?

Автор: граф Монте-Кристо 4.12.2009, 17:30

Почему нет?

Автор: olsa 4.12.2009, 19:36

ё-моё. до такого решения никогда бы не додумался.
много разного перерешал, но чтобы таким методом...
спасибо огромное.


можно воспользоваться вашей щедростью..?
при разложении в ряд Фурье получил cos(pi*n/2)
знаю, что cos(pi*n)=(-1)^n
а это выражение как-нибудь можно записать в ином (аналогичном) виде?
И еще раз за дифур огромное спасибо...

Автор: граф Монте-Кристо 4.12.2009, 19:50

Не знаю, наверно, нельзя...Косинус будет ненулевым при чётных n, влзможно, этим можно будет воспользоваться.
На здоровье