Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Пределы _ lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)
Автор: Lion 1.6.2007, 6:21
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)
Можно ли здесь заменить y=kx, где k - некоторое число?
И тогда
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=
=lim(x->0) ((kx)^2+2x)/((kx)^2-2x)=
=lim(x->0) (k^2x+2)/(k^2x-2)=-1
Или это неправильное решение?
Автор: sonka 1.6.2007, 7:05
Такую замену делать можно, т. к. предел функции не зависит от пути, по которому точка (х,у) стремиться к точке (0,0).
Я думаю, это правильное решение, потому что результат не зависит от k при х->0.
Автор: venja 1.6.2007, 8:58
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)
Можно ли здесь заменить y=kx, где k - некоторое число?
И тогда
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=
=lim(x->0) ((kx)^2+2x)/((kx)^2-2x)=
=lim(x->0) (k^2x+2)/(k^2x-2)=-1
Или это неправильное решение?
Неверно. Конкретную форму зависимости у от х задают в том случае, если хотят доказать отсутствие предела.
Его действительно нет. Для доказательства надо стремление к началу координат брать по кривым вида x=k*y^2
Автор: Lion 5.6.2007, 15:06
Спасибо!
Тогда так
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=|x=k*y^2|=
=lim(y->0) (y^2+2ky^2)/(y^2-2ky^2)=
=lim(y->0) (1+2k)/(1-2k)=(1+2k)/(1-2k)
А так как при разных k предел принимает различные значения, то lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x) не существует.
Теперь правильно?
Автор: venja 5.6.2007, 17:37
Спасибо!
Тогда так
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=|x=k*y^2|=
=lim(y->0) (y^2+2ky^2)/(y^2-2ky^2)=
=lim(y->0) (1+2k)/(1-2k)=(1+2k)/(1-2k)
А так как при разных k предел принимает различные значения, то lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x) не существует.
Теперь правильно?
Да!
Автор: Lion 5.6.2007, 17:53
Ой, спасибо, огромное!
А можно еще вопрос, 
как определять, что тот или иной предел, который надо найти, не существует?
Понятно, что, если в задание сказано "показать, что для функции f(x,y)=... предел... не существует", то можно пробовать замены.
А если просто "найти предел..."?
Автор: venja 6.6.2007, 8:29
Отсутствие предела доказывается как в предыдущем примере: придумывается (параметрический) закон стремления точки (х,у) к (х0,у0) (т.е. y=g(k,x) , такой, что при x->x0 будет y->y0), при котором предел зависит от величины параметра.
Если надо вычислить предел, то пользуются теми же приемами, что и при вычислении обычных пределов. Лучше посмотреть примеры в пособиях (для университетов).
Неплохое пособие:
В.Ф. Бутузов и др. "Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных".
У этих авторов есть и другие пособия.
Автор: Lion 6.6.2007, 10:08
Понятно, спасибо!
И еще один вопрос:
Разбираю решение примера
"Показать, что для функции f(x;y)=(x-y)/(x+y)
lim(x->0;y->0) f(x;y) не существует.
Поскольку последовательности (x_n;y_n)=(1/n;1/n), (x'_n;y'_n)=(2/n;1/n) сходятся к точке (0,0) при n->00,
а соответствующие последовательности значений функций сходятся к различным пределам
f (x_n;y_n)=0 -> 0, f (x'_n;y'_n)=(1/n)/(3/n) ->1/3 при n->00, то предел lim(x->0;y->0) f(x;y) не существует."
Вопрос в следующем, по какому принципу выбираются последовательности "(x_n;y_n)=(1/n;1/n), (x'_n;y'_n)=(2/n;1/n)"?
И как их выбрать в случае f(x;y)=(x+y)/(x-y)?
Автор: venja 6.6.2007, 13:11
Так и выбирают, чтобы пределы оказались разными.
Во втором случае можно брать те же последовательности.
Вообще можно брать у=к*х при разных к.
Автор: Lion 6.6.2007, 18:39
Спасибо, venja!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)