Версия для печати темы

Автор: Йенова 3.11.2009, 1:20

Что-то у меня черепушка уже совсем не варит посоветуйте что тут да как
дано диф. уравнение вида y''+y=2 cosx найти общее и частное решение y(0)=1 y'(0)=0
k1=+i , k2=-i

£+iβ=i- однократный корень характеристич. уравнения
μ=1
y=x((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx)
y'=((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx)+x(-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)
y''= -(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx+(-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)+x(-(Ax+B)cosx-(Cx+D)sinx)

y''+y=-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)+(-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)+x(-(Ax+B)cosx-(Cx+D)sinx)+x((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx)=-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)+(-(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)= =-2(Ax+B)sinx+2(Cx+D)cosx
а вот теперь непонятно как найти коэффициенты что то наверное я тут намудрила

Автор: dr.Watson 3.11.2009, 9:11

Намудрили - это точно, все проще.
Множитель x - правильно, а какие коэффициенты перед косинусом и синусом надо брать при такой правой части? Зачем они у Вас линейные функции?
Если Ваши вычисления верны (не проверял), то можете просто в них положить A=C=0 и получите B=0, D=1.

Автор: tig81 3.11.2009, 9:17

это частное решение неоднородного или решение однородного уравнения?

чтобы найти неизвестные коэффициенты слева и справа собираем хcosx, xsinx, cosx,sinx. Но по-моему намудрили немного.


тоже точно такой же вопрос.

Автор: Йенова 3.11.2009, 9:48

dr.Watson просто в книге подобное уравнение так расписано

tig81 линейное неоднородное диф уравнение со спец.правой частью

Тогда выдаю второй вариант решения
y=x(Acosx+Bsinx)
y'=(Acosx+Bsinx)+ x(-Asinx+Bcosx)
y''= -Asinx+Bcosx+ (-Asinx+Bcosx)+x(-Acosx-Bsinx)
Y= -Asinx+Bcosx+ (-Asinx+Bcosx)+x(-Acosx-Bsinx)+ x(Acosx+Bsinx)= -2Asinx+2Bcosx
-2Asinx+2Bcosx=2cosx
A=0, B=1
Y=xsinx
только тогда у меня не выполняются условия
y(0)=1 y'(0)=0
или снова не так

Автор: dr.Watson 3.11.2009, 9:51

Вы получили частное решение д.у. А какое будет общим?
В этом общем имеются две константы - вот их и надо найти, чтобы удовлетворить условиям.

Автор: tig81 3.11.2009, 10:00

Вы меня неправильно поняли.


надо понимать, это частное решение неоднородного уравнения?!

Y - это что?

похоже на правду.

надо понимать, что это частное решение.
только тогда у меня не выполняются условия

т.е. не выполняются. Общее решение вашего ДУ равно сумме частного решения неоднородного ДУ (т.е. ваш Y) и общего решения однородного.

Автор: Йенова 3.11.2009, 10:04

общее будет таким
Y=C1cosx+C2sinx+xsinx
Y'=-C1sinx+C2cosx+sinx+xcosx
т.к. y(0)=1 y'(0)=0
C1=1
C2=0
Y=cosx+xsin

Автор: dr.Watson 3.11.2009, 10:21

Теперь верно, если - это x, то есть Y=cosx+xsinx.

Автор: Йенова 3.11.2009, 10:25

Огромное вам мерси