Версия для печати темы

Автор: Lutik 1.11.2009, 13:01

Проверти пожалуйста решение уравнения Бернулли
y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3
z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2

z'+2xz=2(x^3)
z=uv =>z'=u'v+v'u тогда

u'v+v'u+2x*uv=2(x^3)
u'v+u(v'+2xv)=2(x^3)
система
v'+2xv=0
u'v=2(x^3)

v'+2xv=0
dv/dx=-2xv
ln|v|=-1/2 ln|x| => v=x^(-1/2)

u'*x^(-1/2)=2(x^3)
du/dx=2(x^3)*x^(1/2)
du=dx/2(x^3)*x^(1/2)
u=1/2*(dx/(x^3)*x^(1/2))
u=1/2*(dx/x^3/2))
u=1/2*(-2*x^(-1/2))

Автор: Dimka 1.11.2009, 13:12

ответ то где?

Автор: Lutik 1.11.2009, 13:16

z=uv
z=1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2)
так как z=1/y^2, то y=(1/z)^(1/2)

y=1/(1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2))^(1/2)

Автор: Dimka 1.11.2009, 13:20

переход неверный. Дальше все неправильно.

Автор: Lutik 1.11.2009, 13:46

v=1/x^(1/2) получилось, так как ln|v|=-1/2 ln|x| и -1/2 в степень переносим

Автор: Dimka 1.11.2009, 13:51

dv/dx=-2xv
dv/v=-2xdx
теперь интегрируйте. Сколько получилось?

Автор: Lutik 1.11.2009, 13:54

ln|v|=-2x^2 получилось

Автор: Dimka 1.11.2009, 13:57

неправильно

Автор: Lutik 1.11.2009, 14:00

ой перепутал
ln|v|=-2 *(x^3/3)
dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2

Автор: Dimka 1.11.2009, 14:02

неправильно

Автор: Lutik 1.11.2009, 14:06

Всё крыша едет, не то выражение смотрю.
вот вроде так dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2

Автор: Dimka 1.11.2009, 14:14

Уже лучше, v=чему?

Автор: Lutik 1.11.2009, 14:18

v = e^-x^2

Автор: Dimka 1.11.2009, 14:26

Ну слава Богу.

Теперь мне не понятен переход

y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3
z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2

z'+2xz=2(x^3)

объясните ка. По-моему он здесь вообще ни к чему.


y'+2xy=2(x^3)*(y^3).
y=uv, y'=u'v+v'u
u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3
u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3
v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2)
u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3
u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2)

Автор: Lutik 1.11.2009, 14:31

дальше u'*(e^(-x^2))=2x^3*(u^3)
du/dx*(e^(-x^2)) = 2x^3*(u^3)
du=(2*(x^3))*(u^3) *(e^(x^2))dx

нам в институте показали пример метода Бернулли и там такую замену сделали, а так можно и без неё сделать.
я так и сделал (только с ошибками):
y'+2xy=2(x^3)*(y^3).
y=uv, y'=u'v+v'u
u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3
u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3
v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2)
u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3
u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2)

для того чтобы не писать (uv)^3 делают замену с самого начала z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2
z'+2xz=2(x^3) z=uv =>z'=u'v+v'u, лучше по тому способу делать

Автор: Dimka 1.11.2009, 14:32

теперь разделяйте переменные и интегрируйте

Автор: Lutik 1.11.2009, 14:45

Большое спасибо за помощь.