Версия для печати темы

Автор: KaLLa4 28.5.2007, 14:51

подскажите плиз как решить задание, а то завтра типовой сдавать

"Построить мажорирующий ряд и доказать его равномерную сходимость на заданном промежутке"

сумма от n=1 до бесконечности : x^n/n*2^n ; [-3/2;3/2].

Заранее благодарен

Автор: venja 28.5.2007, 17:19

Для всех х из [-3/2;3/2] : |x^n/n*2^n|<2^n/n*2^n = 1/n*2^n < 1/2^n
Поэтому мажорирующий (сходящийся - это геометр. прогрессия) ряд можно взять ряд с общим членом
1/2^n. Поэтому исходный ряд сходится равномерно.

Автор: KaLLa4 28.5.2007, 18:09

Пасиб большое.

Можно еще вопросик?...

нужно найти сумму ряда summa от n=2 до бесконечности : x^2n/(2n-3)(2n-2).

Пробывал сделать через интерал,
получается интеграл от 0 до бесконечности : x^2 * summa x^(2n-3)/(2n-3).
Сумма так и напрашивается взять еще один интеграл, но двойные мы не умеем решать, видимо существует какой-то другой способ.
Подскажите плиз, если знаете.

Автор: venja 29.5.2007, 3:13

Не понял.
Сначала вынеси за знак ряда х^2,
а ряд
x^(2n-2)/(2n-3)(2n-2)
два раза продифференцировать.

Автор: KaLLa4 29.5.2007, 3:43

То есть , если я правильно понял, получается , что
1) выносим x^2
затем дифференцируем 2 раза получается x^(2n-4)
сумма данного ряда 1/(1-x^2).
И затем что нужно сделать? интегрировать ?

Автор: venja 29.5.2007, 7:20

После выноса x^2 осталось вычислить сумму ряда
S(x)=(summa от n=2 до бесконечности) x^(2n-2)/(2n-3)(2n-2)
После двукратного дифференцирования действительно получаем
S''(x)=1/(1-x^2). Теперь легко решить это простое диф. ур.(интегрировать 2 раза) и найти его общее решени.
Но в нем будут две произв. постоянные С1 и С1, которые нужно определить. Для этого нужно знать значение S(x) в двух точках.
Ясно, что S(0)=0.
Еще надо бы вычислить
S(1)=)=(summa от n=2 до бесконечности) 1/((2n-3)(2n-2)).
Можно в справочнике взять, а можно разложением на простейшие и определение общего вида частичной суммы. Пробуйте.

Автор: KaLLa4 29.5.2007, 18:20

спасибо за помощь!