Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Разное _ Общий член последовательности, заданной рекуррентно

Автор: tig81 29.10.2009, 18:16

Добрый вечер! Вот имеется такое задание: найти общий член последовательности, заданной рекуррентно: x[n+1]=(x[n]+1)/(n+1), x[1]=0.
Заменой y[n]/n свели к последовательности y[n+1]=y[n]/n+1.
Для однородной последовательности y[n+1]=y[n]/n формулу нашли: y[n]=(n-1)!
Как поступить в случае неоднородной последовательности? blush.gif


Автор: граф Монте-Кристо 29.10.2009, 19:45

Цитата(tig81 @ 29.10.2009, 21:16) *

Добрый вечер! Вот имеется такое задание: найти общий член последовательности, заданной рекуррентно: x[n+1]=(x[n]+1)/(n+1), x[1]=0.
Заменой y[n]/n свели к последовательности y[n+1]=y[n]/n+1.
Для однородной последовательности y[n+1]=y[n]/n формулу нашли: y[n]=(n-1)!
Как поступить в случае неоднородной последовательности? blush.gif

Скорее,всё-таки y[n]=1/(n-1)! smile.gif
Можно,наверно,поступить так:
y[n]=c[n]/(n-1)!
Тогда y[n+1]=c[n+1]/n! = 1+c[n]/n!, откуда с[n]+n!=c[n+1]

Автор: tig81 29.10.2009, 19:50

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.10.2009, 21:45) *

Скорее,всё-таки y[n]=1/(n-1)! smile.gif

точно, именно так и есть. Пропустила. Данке.
Цитата
Можно,наверно,поступить так:
y[n]=c[n]/(n-1)!
Тогда y[n+1]=c[n+1]/n! = 1+c[n]/n!, откуда с[n]+n!=c[n+1]

спасибки, пошла думать.

П.С. А где по подобным заданиям можно теории посмотреть, а то что-то поисковики данный вопрос никак... Или я не там... sad.gif

Автор: граф Монте-Кристо 29.10.2009, 19:53

Не имею ни малейшего понятия...Решал исключительно своими силами, без книжек))

Автор: tig81 29.10.2009, 19:57

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.10.2009, 21:53) *

Не имею ни малейшего понятия...Решал исключительно своими силами, без книжек))

ясно, спасибо flowers1.gif

Автор: граф Монте-Кристо 29.10.2009, 20:05

Не за что:)

Автор: V.V. 30.10.2009, 8:33

Рекуррентные соотношения первого порядка разобраны в "Конкретной математике".

Автор: dr.Watson 30.10.2009, 10:20

x_n=\frac{1!+2!+ ... +(n-1)!}{n!}

Автор: tig81 30.10.2009, 19:26

Цитата(V.V. @ 30.10.2009, 10:33) *

Рекуррентные соотношения первого порядка разобраны в "Конкретной математике".

спасибо большое, посмотрим, почитаем.
Цитата(dr.Watson @ 30.10.2009, 12:20) *

x_n=\frac{1!+2!+ ... +(n-1)!}{n!}

Спасибо! А немного подробнее можно?Хотя бы схемку... blush.gif

Автор: dr.Watson 31.10.2009, 15:30

Как доказать или как догадаться?

Доказать - по индукции, а догадаться что именно доказывать ... в общем тоже по индукции. Ясно, что x_n - дробь. Из реккурентности очевидно, что знаменатель этой дроби (если не сокращать на возможный общий множитель с числителем) - это n! Полагая x_n=y_n/n! получим y_{n+1}=y_n+n! откуда все ясно и с числителем.

Автор: tig81 31.10.2009, 15:35

Цитата(dr.Watson @ 31.10.2009, 17:30) *

Как доказать или как догадаться?

хм... Т.е. общей схемы не имеется для получения ответа?
Цитата
Доказать - по индукции, а догадаться что именно доказывать ... в общем тоже по индукции.

smile.gif


Автор: dr.Watson 31.10.2009, 15:48

Цитата(tig81 @ 31.10.2009, 21:35) *

хм... Т.е. общей схемы не имеется для получения ответа?

smile.gif

А какое тут может быть обобщение? Рекуррентность имеет вид x_{n+1}=a_n*x_n+b_n, с заданными a_n и b_n. Ничего особенного не придумаешь (да и незачем) как выражать через предыдущий, потом через предпредыдущий, предпредпредыдущий ..., раскрыть и получится понятно какая сумма. Если a_n и b_n какие-нибудь особенные, то возможно упрощение.

Автор: tig81 31.10.2009, 16:44

ясно,, спасибо

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)