Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Алгебра _ Задачки про бегунов и про лжецов
Автор: Juliya 24.10.2009, 7:38
сын принес.. не решил.. я что-то тоже давно не решала таких - запуталась... 
Всё же надо иметь постоянный навык с подобными задачами... никто не подскажет-не поможет? Олимпиада закончилась, думаю, уже нигде наверное не будут её давать? хотелось бы с ним на будущее все же разобраться...
Задача 1. Три бегуна стартовали по круговой дорожке одновременно с одного места и в одном направлении. Они бегут с постоянными скоростями. Иванов впервые обогнал Петрова через 5 минут, а Петров впервые обогнал Сидорова через 20 минут. Через сколько минут Иванов впервые обогнал Сидорова?
Задача 2. Директор НИИ Правды узнал, что все n (n>2) сотрудников-либо рыцари, которые всегда говорят правду, либо лжецы, которые всегда лгут, причем среди сотрудников есть и те, и другие. Каждый день он приглашает на производственное совещание нескольких сотрудников по своему выбору и спрашивает каждого, сколько на совещании лжецов. За какое наименьшее кол-во дней он сможет узнать кто лжец, кто рыцарь?
Автор: tig81 24.10.2009, 8:16
для 1: http://otvet.mail.ru/question/31052184/
для 2: www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/14r.doc
Автор: Juliya 24.10.2009, 11:33
Спасибо, tig81, огромное! ..
Но на первую задачу решений нет, два ответа непонятных, не вызывающих у меня лично доверия...
Второе - мне понравилось... 
Решение. За один вопрос это сделать не удастся, т.к. во-первых если мы кого-то в первый день не спросим, то о нем не получим никакой информации и не сможем сказать рыцарь он или лжец. Если же позовем всех, то может случиться так, что один сотрудник ответит на наш вопрос: «1», а остальные n – 1 сотрудник ответят: «n – 1». Тогда этой ситуации удовлетворяют два случая: когда рыцарь ровно один, а остальные лжецы и когда лжец ровно один, а остальные сотрудники – рыцари.
Покажем, как выяснить кто рыцарь, а кто лжец за два вопроса. В первый день нужно позвать всех сотрудников и задать им свой вопрос. Ясно, что все рыцари ответят одно и то же число, а лжецы это число не назовут, а назовут какие-то другие числа. По условию среди сотрудников рыцари есть, поэтому если во второй день мы позовем по одному человеку из каждой группы одинаково ответивших, то мы пригласим ровно одного рыцаря. Т.е. во второй день правильный ответ будет «1». Значит тот, кто так ответит – рыцарь, а так же рыцари все те, кто в первый день ответил так же, как этот человек. Все остальные – лжецы.
Автор: tig81 24.10.2009, 11:36
Спасибо, tig81, огромное! ..
Пожалуйста.
Автор: Juliya 24.10.2009, 17:36
Задача 1. Три бегуна стартовали по круговой дорожке одновременно с одного места и в одном направлении. Они бегут с постоянными скоростями. Иванов впервые обогнал Петрова через 5 минут, а Петров впервые обогнал Сидорова через 20 минут. Через сколько минут Иванов впервые обогнал Сидорова?
ни у кого даже мыслей нет?? У меня что-то очень сложно получается...
Автор: Ярослав_ 24.10.2009, 21:58
Ну как вариант, может кто поинтересней придумает...
Иванов бежит быстрее Петрова, а Петров быстрее Сидорова.
Значит Иванов бежит быстрее Сидорова.
Иванов догнал Петрова через 5 мин, значит каждую минуту от пробегал больше Петрова на 2*pi*R/5.
Петров догнал Сидорова через 20 мин, значит он отдалялся от Сидорова каждую минуту на 2*pi*R/20=pi*R/10
А Иванов отдалялся от Сидорова каждую минуту на 2*pi*R/5+pi*R/10=4*pi*R/10+pi*R/10=5*pi*R/10=pi*R/2 Когда расстояние между Ивановым и Сидоровым станет 2*pi*R, значит он его догонит.
Получается, что через 4 мин.
Автор: Juliya 25.10.2009, 13:17
Спасибо, Ярослав, большое!! У меня столько же получилось... И я теперь уверена в правильности своего, до конца разобралась... Вначале просто допустила в одном месте ошибку .. Ваше решение явно перекликается с моим:
Пусть S - длина беговой дорожки, Vи, Vп, Vc - скорости Иванова, Петрова и Сидорова.
Иванов обогнал Петрова через 5 мин.
Петров за эти 5 мин. успел пробежать не весь круг, а свою часть Sп
Иванов пробежал круг и столько, сколько Петров, т.е. S + Sп
Получаем:
Vи*5=S + Sп
Vп*5=Sп
Отсюда: Vи - Vп=S/5. (вот то, что Вы так быстро и лихо записали как на сколько больше он пробегает каждую минуту... )
Аналогичные рассуждения про Петрова-Сидорова дают Vп- Vc=S/20.
Складываем два уравнения и получаем:
Vи - Vс=S/4
4*Vи=S+4*Vс
т.е. да, через 4 мин. Иванов догнал Сидорова.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)