Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Пределы _ lim(x->0)(sin(2x)arctg^2(3x))/(ln(1+x^2)sin(x))

Автор: nood 21.10.2009, 7:53

Помогите с пределом пожалуйста:
lim(x->0)(sin(2x)*arctg^2(3x))/(ln(1+x^2)*sin(x))=[0/0]
Как решить такой предел. По правилу Лопиталя пробовал получается огромная дробь и то с первого раза не получается, надо еще производные искать:
=(2cos(2x)*arctg^2(3x)+sin(2x)*(6arctg(3x)/(9x^2+1)*ln(1+x^2)*sin(x) -(sin(2x)*arctg^2(3x)*ln(x^2+1))/(ln(1+x^2)*sin(x))^2
И то возможно не правильно нашел, тут столько слагаемых и скобок, что запутаться можно. По Лопиталю скорей всего не подходит, а как еще решать не знаю.Можно было бы как нить преобразовать, но как arctg^2(3x) разложить не знаю чет. Подскажите?

Автор: TatianaP 21.10.2009, 10:35

Попробуйте воспользоваться эквивалентностью бесконечно малых. Т.е. при х->0 sinx ~x, arctgx~x, ln(1+x)~x. Замените и ищите предел.

Автор: nood 21.10.2009, 10:45

а arctg^2x можно заменить на х?

Автор: TatianaP 21.10.2009, 11:19

Нет! Имеется ввиду, что если аргумент у этой функции ->0, то саму функцию можно заменить её аргументом. Например, sin5x~5x, sin^2x=(sinx)^2~x^2 и т.д.

Автор: nood 21.10.2009, 12:16

Получается:
lim=(2x*arctg^2(3x))/((1+x^2)*x)=lim(2x*arctg^2(3x))/(x+x^3)
А с тангенсом то что делать? Производная все равно сложная арктангенс никуда не девается

Автор: tig81 21.10.2009, 16:38

Цитата(nood @ 21.10.2009, 15:16)

А с тангенсом то что делать? Производная все равно сложная арктангенс никуда не девается

arctgx ~ x при x->0

Автор: nood 21.10.2009, 17:46

Так там же арктангенс в квадрате или можно как произведение представить и в обоих заменить на 3х и получится типо 3х*3х?

Автор: tig81 21.10.2009, 18:00

Цитата(nood @ 21.10.2009, 20:46)

Так там же арктангенс в квадрате

arctg^2(3x)=(arctg(3x))^2~(3x)^2=... при x->0

Цитата

или можно как произведение представить и в обоих заменить на 3х и получится типо 3х*3х?

ага

Автор: nood 21.10.2009, 18:18

О клево, получается:
lim(x->0) (2x*3x^2)/(x+x^3) делим на x^3 и получаем ответ 6, верно?

Автор: tig81 21.10.2009, 18:23

Цитата(nood @ 21.10.2009, 21:18)

lim(x->0) (2x*3x^2)/(x+x^3) делим на x^3 и получаем ответ 6, верно?

lim(x->0)(2x*(3x)^2)/(x+x^3)
Как такой знаменатель получился?

Автор: nood 21.10.2009, 18:28

Цитата(tig81 @ 21.10.2009, 18:23)

lim(x->0)(2x*(3x)^2)/(x+x^3)
Как такой знаменатель получился?

Ну там ведь (ln(1+x^2)*sin(x) заменяем на (1+х^2)*х=(х+х^3)

Автор: tig81 21.10.2009, 18:44

Цитата(nood @ 21.10.2009, 21:28)

Ну там ведь (ln(1+x^2)*sin(x) заменяем на (1+х^2)*х=(х+х^3)

почему?
ln(1+x)~x при x->0. Вроде так.

Автор: nood 21.10.2009, 18:47

Да так, но у меня то в примере ln(1 +х^2) нельзя его заменить на (1+x^2)?

Автор: tig81 21.10.2009, 18:50

Цитата(nood @ 21.10.2009, 21:47)