Версия для печати темы

Автор: Lepsik 27.5.2007, 10:00

с помощью тройного интеграла вычислить объем тела , ограниченного данными поверхностями::

x^2 + y^2 = 1; 2x - z= 0; 4x - z =0
помгите плизз с пределами

Автор: Руководитель проекта 29.5.2007, 5:12

Думаю, что здесь стоит перейти в цилиндрическую СК: x=r*cos(fi), y=r*sin(fi), z=z.

Автор: Inekey 11.10.2008, 18:25

Помогите пожалуйста с решением задачи.
Найти объём тела, ограниченного поверхностями :
x^2+y^2=6x
z=x^2+y^2
z=0
Как правильнее разложить тройной интеграл и с какими предами его взять?

Автор: Тролль 11.10.2008, 20:55

Хотя здесь конечно лучше сделать с помощью цилиндрических координат.
То есть сделать замену
x = r * cos fi
y = r * sin fi
z = z

Автор: Inekey 11.10.2008, 21:06

А если решать с помощью цилиндрической системы координат, то какие пределы интегрирования будут?

Автор: Тролль 11.10.2008, 21:12

Тогда 0 <= z <= r^2
А по r и по fi можно узнать, подставив в первое уравнение:
(r * cos fi)^2 + (r * sin fi)^2 = 6 * r * cos fi
r^2 = 6r * cos fi => r = 6 * cos fi
r >= 0 => 6 * cos fi >= 0 => cos fi >= 0 => -pi/2 <= fi <= pi/2
Ну и r соответственно меняется от 0 до 6 * cos fi.

Автор: RedNastenka 18.10.2008, 7:14

здравствуйте, мне нужно при помощи тройного интеграла вычислить объём, ограниченого поверхностями z=x^2+3y^2, x+y=1, x=y=z=0, посмотрите, правильно ли я изобразила, и расставила пределы:

Автор: Тролль 18.10.2008, 7:51

Вроде всё правильно. Ответ получается 1/3. Только лучше не писать x=y=z=0, а писать x = 0, y = 0, z = 0.

Автор: RedNastenka 18.10.2008, 7:55

спасибо, сейчас посчитаю

Автор: nikolai81 21.10.2008, 7:47

Здравствуйте, учусь заочно, изучаю темы и пытаюсь сам решить контрольную, можно у вас консультироваться по некоторым вопросам?

1. с помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 2x+3y-z+6=0
посмотрите как делаю:


особенно посмотрите пределы интегрирования по у и по z
сомнения закрались особенно по у, там так или наоборот

Автор: Ярослав_ 21.10.2008, 8:08

По игрек от -(2/3)*х-2 до 0, а по остальным осям вроде верно.

Автор: nikolai81 21.10.2008, 10:09

спасибо, понял, где ошибка, ответ получил =6.

Автор: nikolai81 21.10.2008, 11:39

2. с помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного: 9<=z^2<=16-x^2-y^2
я тут немного почитал, что у меня есть и так понял, что здесь проекцией на Оху будет

и нужно перейти к сферической с.к.
получается 3<=r<=4 и всё, в общем, тупик, объясните, как правильно расставить пределы...

Автор: tig81 21.10.2008, 11:45

а откуда внутренняя окружность взялась?

Автор: nikolai81 21.10.2008, 11:50

ну да, её нет, немного напутал, а z^2>=9 мы же тут не строим?
тогда 0<=r<=4 так?
а дальше

Автор: tig81 21.10.2008, 12:09

это не окружность, это пара параллельных плоскостей.
Если находит в декартовой системе, то http://www.radikal.ru Вроде так.

Автор: nikolai81 21.10.2008, 12:22

пара плоскостей, это вы про z=-3 и z=3?

т.е. можно не переходить к сферической с.к., и считать так, да? сейчас посчитаю, ответ сверим?

Автор: tig81 21.10.2008, 12:29

да
тяжело сказать, как проще...

Автор: nikolai81 21.10.2008, 13:43

попробовал посчитать интеграл, который вы мне посоветовали, получил -8пи

может подскажите, как со сферическими координатами? хотелось бы понять, на зачёте по любому подобный будет, раньше хоть вечерние занятия были, можно было у преподавателя спросить, а сейчас такая контрольная сложная и их нет, поэтому вот прошу у вас помощи

Автор: tig81 21.10.2008, 14:17

у меня не так.

Посмотрите http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme35/theory.asp, http://www.reshebnik.ru/solutions/7/7, http://www.reshebnik.ru/solutions/7/11, а также http://www.reshebnik.ru/solutions/7/13, http://www.reshebnik.ru/solutions/7/14 и http://www.reshebnik.ru/solutions/7/15

Автор: nikolai81 21.10.2008, 14:23

ладно, пересчитаю



спасибо, сейчас гляну.

Автор: nikolai81 22.10.2008, 12:42

а сколько у вас получилось? я всё, застрял на этом, с переходом не разобрался, так хоть так в декартовой знать ответ

Автор: tig81 22.10.2008, 12:56

вроде 96Pi

Автор: nikolai81 22.10.2008, 12:58

с плюсом? я вот тут пересчитывал, с минусом получил, сейчас опять попробую
а что скажете про другое задание, правильно делал то хоть, почему ответы получились противоположные

Автор: tig81 22.10.2008, 13:03

вроде с плюсом

какое другое?

Автор: nikolai81 22.10.2008, 13:05

которое я в личку посылал

Автор: tig81 22.10.2008, 13:14

Выставите их, а то я удалила. И в чем проблема, ответы все равно не совпали?

Автор: nikolai81 22.10.2008, 13:24

они получились противоположные

ладно, удаляю, чтоб место не занимали

Автор: tig81 22.10.2008, 14:08

Пересчитала непосредственно, получилось -1/4. Сейчас еще и по ф-ле Остроградского-Гаусса попробую.

Автор: nikolai81 22.10.2008, 14:23

очень надеюсь на вас, жду, потому чтодо самого не доходит, где ошибся

Автор: tig81 22.10.2008, 14:26

По формуле Остроградского:
http://www.radikal.ru
Т.е. получаем П=-6*(1/24)=-1/4.

а где в ваших вычислениях ошибка не соображу. Скорее всего неправильно раставлены пределы интегрирования.

Автор: nikolai81 22.10.2008, 14:53

я тут ещё спрашивал на другом форуме, мне подчеркнули, что нужно найти поток через полную поверхность, но тут уж всё, что значит через полную?

Автор: tig81 22.10.2008, 15:12

Посмотрите http://www.reshebnik.ru/solutions/8/4, http://www.reshebnik.ru/solutions/8/5. Я так понимаю, вам надо вычилсть поток на каждой грани заданной пирамиды.

Автор: nikolai81 22.10.2008, 15:26

да... вот это я попал ...

Автор: nikolai81 24.10.2008, 3:41

плоскость: х+2у-2z=1

а как у вас так получилось? границы интегрирования такие как у меня?, т.е. по х: от 0 до 1, по у: от 0 до (1-х)/2, и по z: от 0 до (х+2у-1)/2

Автор: hook 2.11.2009, 16:43

Всем доброго здравия!
Попался сей интеграл, один в один. Пытался решить данным способом, но прихожу к неопределенности.
 int3.doc ( 16.5 килобайт ) Кол-во скачиваний: 174

Такой вопрос: вычисляем интеграл с теми пределами интегрирования что указал нам tig81 ?? Или там еще что-то?
Второй вопрос: при поиске предела интегрирования по оси аппликат (Оz)
9<=z^2<=16-x^2-y^2;
+-3<=z<=+-sqrt(16-x^2-y^2):
Получили пределы интегрирования от z=-3 до z=3. А куда делось "+-sqrt(16-x^2-y^2)" ?
Заранее спасибо.

Автор: Ярослав_ 2.11.2009, 17:19

Мне кажется, там совсем другие пределы будут, Это сфера с R=4 и две параллельные плоскости z=+-3, на положительных z
3=<z=<Sqrt[16-x^2-y^2]
На ось xOy x^2+y^2+9=16 => x^2+y^2=7 => R=sqrt[7]

Автор: hook 2.11.2009, 17:34

Вот условие, чтобы не искать по страницам:

Спасибо за содействие
попробую сделать, решение выложу

Автор: hook 2.11.2009, 20:04

Получилось примерно следующее:
 int4.doc ( 21 килобайт ) Кол-во скачиваний: 166

Вопрос только в пределе интегрирования по z
9<=z<=16-x^2-y^2
это верно ?

Автор: Ярослав_ 2.11.2009, 21:09

Квадрат же извлечен, значит 3=<z=<Sqrt[16-x^2-y^2]

Автор: hook 3.11.2009, 21:24

 int5.doc ( 19 килобайт ) Кол-во скачиваний: 171

Решил тройной интеграл таким почти обычным способом, но результат "0"
Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка?
Может нужно делать замену в самом начале и переходить к пределам интегрирования с "ПИ" ?
Или решать в другой системе координат ? - полярная\сферическая ?

Автор: Ярослав_ 3.11.2009, 22:37

Лучше в ЦСК
x=r*cos(fi);
y=r*sin(fi);
3=<z=<sqrt[16-r^2]
0=<fi=<2*pi;
0=<r=<sqrt[7];
dxdydz=rdrd(fi)dz
Посчитаете, получится должно V1=11*pi/3, так как на отрицательных зет, -sqrt[16-x^2-y^2]=<z=<-3
то V=2*V1