Версия для печати темы

Автор: Lutik 4.10.2009, 9:26

Проверьте пожалуйста решение уравнений
1) дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
2xdx-2ydy=(x^2)*ydy-2x(y^2)dx
2xdx+2x(y^2)dx=2(x^2)ydy+2ydy
2xdx(1+y^2)=ydy((x^2)+2)
2xdx/((x^2)+2)=ydy/(1+y^2)
dx^2/((x^2)+2)=1/2*(dy^2)/(1+(y^2)
ln[(x^2)+2]=1/2*ln[1+(y^2)]+c
ln[(x^2)+2]=1/2*ln[1+(y^2)]+ln[c]
(x^2)+2-1/2*(1+(y^2))=c

2) y'+y/x=3x
dy/dx+y/x=3x
dy/dx=3x-y/x
dy/dx=3x^2/x-y/x
интеграл от dy/y=интеграл от ((3x^2-1)/x)dx)
lny=3x^2-lnx+c

если y(1)=1, то lny-3x^2-lnx=c, с=3.

Автор: tig81 4.10.2009, 9:42

Лучше первую строчку не писать, а писать сразу вторую.

не поняла, как такое получили. Распишите подробнее.

это как?
К этому заданию посоветую вот такой http://www.reshebnik.ru/solutions/5/4

Автор: Dimka 4.10.2009, 9:47

1)
ln[(x^2)+2]=1/2*ln[1+(y^2)]+ln[c]
x^2+2=C(1+y^2)^(1/2)

2) подстановка y=uv

Автор: tig81 4.10.2009, 9:49

угу

Автор: Lutik 4.10.2009, 9:51

1) ln[(x^2)+2]=1/2*ln[(1+(y^2)*c)
ln[(x^2)+2]=ln[sqrt((1+(y^2)*c))
(x^2)+2=sqrt((1+(y^2)*c)

Автор: tig81 4.10.2009, 9:54

Из вашей записи

с под корень никак не попадет.
Т.е.

Автор: Dimka 4.10.2009, 10:03

ну можно представить C=sqrt©, тогда

Автор: tig81 4.10.2009, 10:04

Можно конечно. Но пока этого не сделано... , поэтому

Автор: Lutik 4.10.2009, 10:18

Первое понял спасибо.
Второе:
y'+y/x=3x
y=u(x)v(x)=>y'=u'v+uv'
u'v+uv'+(1/x)*uv=3x
u(v'+(1/x)v)+vu'=3x
пусть v'+(1/x)v=0, тогда dv/dx+v/x=0=>dv/v+dx/x=> v=x
тогда xu'=3x=> u'=3 => du/dx=3 => u=3x^2
получается 2-ое уравнение решается методом Бернулли.

Автор: tig81 4.10.2009, 10:25

=> dv/dx=-v/x => dv/v=-dx/x => lnv=-lnx => lnv=ln(1/x) => v=1/x.
Вроде так.

Автор: Lutik 4.10.2009, 10:29

забыл про минус, тогда u'=3x^2 => du/dx=3x^2 =>u=x^3

Автор: tig81 4.10.2009, 10:42

+ С. А так верно.

Автор: Lutik 4.10.2009, 11:36

Спасибо со вторым тоже разобрался

Автор: tig81 4.10.2009, 11:43