Версия для печати темы

Автор: Vladilen 24.5.2007, 18:21

Задача: Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0):
y^6 = a^2 * (3 * y^2 - x^2) * (y^2 + x^2).
Перевел в полярную систему, получил: p=[a(3sin(фи)^2-cos(фи)^2)^(1/2)]/sin(фи)^3.
дальше надо интегрировать двойным интегралом по int (по фи) и int (от 0 до p) pdpdфи.

Вопрос:
Как определить диапазон значений полярного угла фи ?
какая есть методика определения угла фи для уравнения кривой?
Нигде не смог найти, подсказали что фи лежит от 30 до 150 град, но без объяснений, как найти? хочется разобраться.

И еще, не смог построить график средствами Mathcad и Advanced Grapher, по точкам получается что-то непотребное, подскажите, кто знает, что это за кривая и как ее построить.

Пожалуйста, застрял на этой задаче, уже неделю разбираюсь.

Автор: venja 31.5.2007, 11:15

После подстановки
x = r * cos fi, y = r * sin fi получилось
(*) r^2 = a^2 * (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)/cos^6 fi.
Изначально fi может меняться от 0 до 2pi. Но так как справа в (*) стоит четная функция, то график симметричен относительно оси х (полярной оси) и можно найти площадь части фигуры, расположенной выше оси х и умножить ее на 2. Поэтому можно (для поиска площади половины фигуры) изменять fi от 0 до пи.
Далее, из (*) следует, что угол fi должени удовлетворять условию
3 * sin^2 fi - cos^2 fi>=0, т.е. |tg fi| >= 1/3^(1/2).
Поэтому fi меняется от pi/6 до pi/2 и от pi/2 до 5 * pi/6
(точка pi/2 - отдельная. в ней r бесконечность, поэтому фигура неограниченная).
Тогда полная площадь должна быть равна:
S = 2 * {1/2 * int (pi/6 pi/2) [a^2 * (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)/cos^6 fi] dfi +
+ 1/2 * int (pi/2 5pi/6) [a^2 * (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)/cos^6 fi] dfi}

Автор: Caterina 10.6.2010, 7:27

Почему делить на cos^6 fi, если y = r * sin fi ?

затем непонятно, как в формуле учитывается интегрирование по r , и вообще, как такой "страшный" интеграл дальше считать, не очевидно!

Между прочим, зачем тогда условие а>0?

Как мне представляется, особую точку мы сами создаём, когда делим на у^6, но я не могу представить даже приблизительно форму исходной кривой. Поэтому не очевидно, что r меняется от 0 до бесконечности.
При у=0 имеем 0=-а^2*x^2, так как а>0, х=0 в декартовых координатах.
В полярных при fi=pi/2 имеем r^6=а^2(3r^4-0)
r^2=3а^2
r=sqrt3*а
при fi=pi/6 r=0

Автор: Caterina 10.6.2010, 11:16

Получается что-то вроде
S = 2 * int (0 а*sqrt3) int (pi/6 5pi/6)[a^2 /r^2* (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)]dr dfi

Автор: Caterina 10.6.2010, 21:01

К тому, что написал venja:

Тогда полная площадь должна быть равна:
S = 2 * {1/2 * int (pi/6 pi/2) [a^2 * (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)/cos^6 fi] dfi +
+ 1/2 * int (pi/2 5pi/6) [a^2 * (3 * sin^2 fi - cos^2 fi)/cos^6 fi] dfi}

Это формула для криволинейного сектора, только почему-то здесь подынтегральная функция r(fi) не в квадрате...

Автор: venja 11.6.2010, 4:14

Да уж. Похоже, Вы нашли мою описку трехлетней давности . Благодарю.

Автор: tig81 11.6.2010, 7:35

Автор: Killersmile 26.7.2022, 12:13

Great site i love it keep posting more! https://storageshedsevansville.com