Версия для печати темы

Автор: Sydney 28.7.2009, 12:24

Народ помогите с решением ЭТОЙ задачи у меня уже крыша едет от неё, 2 дня сижу ну ничего придумать не могу

Дан ромб ABCD. Окружность с радиусом R=4√15 (корень четвёртой степени), касается прямых АВ и AD в точках
B и D соответсвенно и пересекает сторону ВС в точке L так, что 4BL=BC. Найдите площадь ромба.
http://radikal.ru/F/i042.radikal.ru/0907/e9/4bf7e08d581a.gif.html
http://www.radikal.ru
http://www.radikal.ru

Автор: venja 28.7.2009, 14:49

Что-то у меня изображение не открылось. Попробую по записи условия. Возможно, путь не самый короткий. Что пришло в голову.

Пусть О - центр окружности (легко показать, что он на диагонали АС), с - сторона ромба. Пусть АС пересекает окружность в точках К и Р (точка К ближе к А, а Р - дальше). Обозначим ПОЛОВИНУ острого угла ВАD через а. Поставим себе целью найти какую-либо тригонометрическую функцию угла а (мы найдем синус), тогда проблем уже быть не должно.
Из прямоуг. тр. АВО:
АО=R/sina, c=AB=R*ctga
Через сторону ромба и один из его углов легко выражаются диагонали, а потому
АС=2*c*cosa=2*R*(cosa)^2/sina

Далее,
ОС=АС-АО=R*cos(2a)/sina

Далее, используем теорему: если из точки вне окружности провести к ней две секущие, то произведение длин секущих на их внешнюю часть совпадают. Поэтому

ВС*LC=КС*РС

С учетом того, что KC=OC+R, PC=OC-R, это дает

(3/4)*с*с=(OC)^2-R^2.

Подставляя и деля на R^2, получается уравнение

(3/4)*(ctga)^2=[(cos(2a))^2/(sina)^2] - 1

В уравнении все тригонометрические функции легко выражаются через (sina)^2. Поэтому если сделать замену t=(sina)^2, то относительно t получится квадратное уравнение.

Автор: Sydney 28.7.2009, 18:52

Если честно, то понял мало, но училка говорит нужно числовое выражение. Исходя из этой формулы всё равно не решить полностью эту задачу, здесь ни одного угла не задано поэтому чиловое выражение ну никак не выходит хотя буквенно всё верно получается только ни как не даёт покоя этот корень в четвёртой степени из 15

Автор: venja 29.7.2009, 0:10

верю .

Довел до конца решение.

sina=1/4

S=225/8

Автор: Sydney 29.7.2009, 3:33

Огромное спасибо вы меня спасли