Версия для печати темы

Автор: steph 13.5.2009, 16:29

Здравствуйте , помогите пожалуйста с 2-мя задачами по алгебре и ТЧ.
1)Необходимо доказать , что в абелевой группе отображение x---> nx , где n принадлежит Z, является эндоморфизмом.

F: G->G' \/ a,b из G : F(a+b )=F(a)+F( b ) - гомоморфизм
Эндоморфизм - гомоморфизм системы саму в себя. Абелева группа , это куммутативная группа.
Тогда F(x1+x2)=F(x1)+F(x2)
F(x)=nx , тк абелева , то nx=xn . nx=x+x+x+...+x , Тогда \/ x , такие что отображение x->nx - эндоморфизм.

Я правильно рассуждаю????

2) Подскажите , пожалуйста , с чего начать надо в этой задаче ( никак не могу к ней подступиться):Доказать , что бинарное отношение {(x,y) из RxR | y=2^(x^2+3x+4)} является отображением из R в R и найти его образ.


Заранее благодарен!

Автор: dr.Watson 14.5.2009, 9:07

1) Вы правильно пишете, что надо проверять равенство F(x+y)=F(x)+F(y). Проверка заключается в прямой подстановке, исходя из конкретного задания отображения F, если Вы только приступите к этой проверке, то тут же будет и её конец. Пока Вы не приступили.

2) Утверждение сразу вытекает из определения отображения. Вы его хотя бы прочитали?

ЗЫ. К теории чисел эти задачи имеют примерно то же отношение, какое имеет таблица умножения к матанализу.

Автор: steph 14.5.2009, 15:38

1) Как мне надо приступить????
2) Справился , было очевидно все из условия , действительно)

ЗЫ:А к какому разделу они имеют отношение???

Автор: dr.Watson 15.5.2009, 7:39

Дык приступить - это и означает приступить. Сами же писали какое равенство надо проверить, вот его и проверяйте ...


Затрудняюсь с ответом ровно так же как и с таблицей умножения - это просто начальные понятия, которые можно встретить практически в любом разделе математики.

Автор: steph 15.5.2009, 7:58

Как бы я не знаю как его проверить ... x любое может быть , и числом и матрицей...

Автор: dr.Watson 15.5.2009, 9:38

А какая разница из чего состоит группа???!!!
Задачу-то хоть прочитали? Поскольку в ней употребляется nx, а не x^n, то речь идёт об аддитивной группе, то есть операция обозначается знаком +, а nx - это просто сумма иксов в количестве n экземпляров.
Отображение F у Вас задано: F(x)=nx.
Надо проверить, что для любых x и y справедливо равенство
F(x+y)=F(x)+F(y).

В чём проблема то? Не знаете, в каком месте коммутативность понадобится? Ну дык для этого надо хотя бы начать, а там сразу и видно будет.

Автор: steph 16.5.2009, 14:18

Получается тогда так
\/ x,y из A
F(x+y)=F(x)+F(y)=F(y)+F(x)-тк абелева группа
F(x+y)=n(x+y)=x+x+x+...+x+y+y+y+...+y
F(x)=nx=x+x+x...+x
F(y)=ny=y+y+y+...+y
F(x)+F(y)=x+x+x+...+x+y+y+y+...+y=F(x+y)
Я прав?

Автор: dr.Watson 19.5.2009, 2:33

Не могу сказать, что всё неправильно, но доказательства нет.
Почему F(x+y)=F(x)+F(y)? Это у Вас в первой строчке написано, но ведь именно это и надо проверять!

Автор: steph 21.5.2009, 8:12

Тк группа абелева то , операция * коммутативна
x*y=y*x
тогда '.' пусть будет повторением групповой оперции
x*x*x*x*x*....*x*x=nx
(x*y)>n(x*y)=(x*y)*(x*y)...(x*y)=x*x*x*...*x*y*y*y*y*...*y=nx*ny
выполняется F(x+y)=F(x)+F(y)--> эндоморфизм

Автор: dr.Watson 21.5.2009, 8:16

Ну сколько можно ерунду толочь?

Пусть, к примеру, n=2 - то есть F(x)=2x. Напишите, чему равно F(x+y) для этого случая.

Автор: steph 21.5.2009, 8:19

Вот так:
F(y)=2y
F(x)=2x
F(x+y)=2(x+y)

Автор: dr.Watson 21.5.2009, 8:50

Правильно, то есть
F(x)=x+x
F(y)=y+y
F(x+y)=x+y+x+y
Ну и откуда теперь вытекает, что F(x+y)=F(x)+F(y) - поняли?
Если да, то сделайте ровно то же для случая n>2.

Автор: steph 21.5.2009, 9:14

Тогда будет так
F(x)=nx
F(x)=x+x+x+...+x+x
***** \_____ _____/
**********\ /
***********n
F(x+y)=x+x+x+...+x+x+y+y+y+...+y
*******\_____ _____/ \_____ _____/
************ \ / n
*************n
Спасибо большое , понял.

Автор: dr.Watson 21.5.2009, 11:36

F(x+y)=x+x+x+...+x+x+y+y+y+...+y - это у Вас откуда, по определению отображения F?

Рано благодарите - у меня сильные подозрения, что ничегошеньки Вы не поняли.

Исходя из определения F, напишите, чему равно F(x+y) в случаях n=2, n=3, ...
Чему равно F(x)+F(y) в этих же случаях?

Автор: steph 21.5.2009, 12:46

(*)Группа абелева----> x+y=y+x
для n=3
F(x)=x+x+x
F(y)=y+y+y
F(x+y)=x+y+x+y+x+y =/исходя из (*)/=x+x+x+y+y+y

Автор: dr.Watson 22.5.2009, 2:35

Ну вот - теперь другое дело.

Автор: steph 22.5.2009, 6:52

Спасибо!! Теперь я понял , что рассуждения мои были не верны , тк я не упоминал , что группа абелева.