Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Интеграл с тригонометрическими функциями
Автор: Kisuni 11.5.2009, 15:11
Подскажите пожалуйста, что делать с интегралом.
int(1/(2*sin(x)^4+cos(x)^4))dx
Ввела замену t=tg(x), в итоге получила интеграл int(1/(2*t^4+1))dt+int(t^2/(2*t^4+1))dt, не могу придумать как посчитать их, пробовала z=t^4 для первого - вылезает корень 4-ой степени, опять же от него не избавишься, аналогично для второго.
Пробовала изначально посчитать иначе, т.е. по формулам расписать sin^2(x)=(1-cos(2*x))/2 и cos^2(x)=(1+cos(2*x))/2, но тоже ничего путного не выходит из этого, так же в итоге вылезает 4-я степень в знаменателе.
Подскажите с какой стороны подойти, у меня уже мыслей не осталось.
Автор: tig81 11.5.2009, 17:15
Пробовала изначально посчитать иначе, т.е. по формулам расписать sin^2(x)=(1-cos(2*x))/2 и cos^2(x)=(1+cos(2*x))/2, но тоже ничего путного не выходит из этого, так же в итоге вылезает 4-я степень в знаменателе.
Я бы делала так... Напишите, что после этого получается, посмотрим.
Автор: Kisuni 11.5.2009, 18:18
Получается следующее:
int(1/(3-2*cos(2*x)+3*cos^2(2*x)))dx
Если домножать на косинусы или cos2x обозначать за t - вылезет корень в итоге, если от него избавляться - опять 4-я степень, ничего путного.
В одном задачнике нашла похожий пример, все осложняется тем, что у нас перед синусом стоит 2-ка, все портит. смысл в том, что числитель и знаменатель делятся на t^2, после чего числитель вносится под дифференциал, в знаменателе выделяется полный квадрат и все отлично получается. Из-за этой двойки ничего не выйдет, прибавим и отнимем sqrt(2) и в итоге опять будем вынуждены считать интеграл (1-sqrt(2))/(1+t^4).
Замкнутый круг.
Автор: tig81 11.5.2009, 18:31
Получается следующее:
int(1/(3-2*cos(2*x)+3*cos^2(2*x)))dx
У меня не такое получилось. Подробнее еще распишите. Какие именно формулы понижения степени использовали и что куда подставляли.
Автор: Kisuni 12.5.2009, 12:39
Использовала эти: sin^2(x)=(1-cos(2*x))/2 и cos^2(x)=(1+cos(2*x))/2
подставляла в начальный интеграл.
Получилось (4-ку потеряла в посте выше): 4*int(1/(3-2*cos(2*x)+3*cos^2(2*x)))dx.
Второй раз пересчитала - все правильно.
Ответ в мэпле ужасающий просто.
1/8*2^(1/4)*ln((2*tan(x)^2+2*2^(1/4)*tan(x)+2^(1/2))/(2*tan(x)^2-2*2^(1/4)*tan(x)+2^(1/2)))+1/4*2^(1/4)*arctan(2^(3/4)*tan(x)+1)+1/4*2^(1/4)*arctan(2^(3/4)*tan(x)-1)+1/16*2^(3/4)*ln((2*tan(x)^2-2*2^(1/4)*tan(x)+2^(1/2))/(2*tan(x)^2+2*2^(1/4)*tan(x)+2^(1/2)))+1/8*2^(3/4)*arctan(2^(3/4)*tan(x)+1)+1/8*2^(3/4)*arctan(2^(3/4)*tan(x)-1)
Автор: tig81 12.5.2009, 14:49
Получилось (4-ку потеряла в посте выше): 4*int(1/(3-2*cos(2*x)+3*cos^2(2*x)))dx.
Универсальную тригонометрическую не пробовали?
Автор: Kisuni 12.5.2009, 15:25
Универсальную тригонометрическую не пробовали?
Это где t=tg(x)?
Автор: Kisuni 13.5.2009, 11:35
Ну и ладно, фик с ним.
Спасибо за помощь.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)