Версия для печати темы

Автор: Lennichka 10.5.2009, 20:20

Нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2z^2=x^2+Y^2, 4z=16-x^2-y^2, z=0(z>=0). Я похожее решение уже встречала...Но мне очень нужно знать, что это за фигуры (если возможно, то как выглядит график) и правда, что данный объем вычисляется не тройным интегралом, а двойным?...
Заранее огроменное спасибо!

Автор: Ярослав_ 10.5.2009, 20:30

Можно и двойным...

Автор: Lennichka 10.5.2009, 20:49

А тройным тоже эту задачу можно решить?...

Автор: tig81 10.5.2009, 20:58

В гугл загоняем "Канонические уравнения поверхностей второго порядка" и смотрим...



Можно.

Автор: Lennichka 10.5.2009, 21:29

А если тройным, то как?))))
А про идею с гуглом огромное спасибо)))))

Автор: Ярослав_ 10.5.2009, 21:45

Вот http://www.reshebnik.ru/solutions/7/10 и далее примеры посмотрите.

Кстати, здесь наверно так должно быть 4z=16-x^2-y^2?!

Автор: tig81 10.5.2009, 22:36

Автор: Lennichka 11.5.2009, 3:06

Да, спасибо, знаком ошиблась)

Автор: Lennichka 11.5.2009, 21:14

Что-то я уперлась в тупик...Если у кого-нибудь есть возможность, напишите, пожалуйста, интеграл, который мне нужно решить...я с ограничениями и функциями никак разобраться не могу...
Заранее большое спасибо, спасете при защите курсовой))

Автор: dr.Watson 12.5.2009, 6:44

Вот так курсач! Это где ж такие дают?
Ну посмотрите внимательно - у Вас ведь две фигуры вращения пересекаются, причём обе очень простые. Рассеките плоскостями - в сечениях круги и интегрируйте площадь сечения в нужных пределах - простой интеграл, даже не двойной. Объём одной из частей вообще без интегралов - объём конуса ещё со школы известен.
Ответ: 40pi/3

Автор: Ярослав_ 12.5.2009, 10:05

Нет, там другая фигура получится, ведь там ещё такое условие z=0

http://www.radikal.ru

Автор: Lennichka 12.5.2009, 12:13

Спасибо огроменное за рисунок! Никогда до такого не додумалась бы...Остается с интегралами разобраться....
Насколько я поняла, то я беру цилиндрические координаты:
x=rcosfi
y=rsinfi
z=z Это система...
Дальше ищу пересечения графиков:
x^2+y^2=r^2
Следовательно, 4z=16-r^2
2z^2=r^2
Получается 2z^2+4z-16=0
z^2+2z-8=0
D=36
z=2 z=-4
z=-4 не подходит, следовательно, z=2
А вот дальше что нужно делать?
Нужно подставлять: D:8=x^2+y^2? И если да, то как делать дальше?

А такие курсовые дает иститут стали и сплавов(((((

Автор: dr.Watson 12.5.2009, 12:39

Действительно и так понять можно - даже в голову не пришло.
Параболический холмик 0<4z<16-x^2-y^2 разбивается конусом 2z^2=x^2+y^2 на две части. У Вас на рисунке одна часть, у меня - дополнение.
На всякий случай лучше посчитать объём всего холмика и вычесть найденный, чтобы найти объём другой части.

Автор: Lennichka 12.5.2009, 18:41

Ааааа...по-моему, я ничего не поняла...
Если кто понимает, напишите, пожалуйста, сам интеграл...
А с рисунком-то что делать теперь?..таким оставлять, или он по-другому будет выглядеть?...

Автор: Ярослав_ 13.5.2009, 11:28

Мне кажется, что нужная фигура будет как на рисунке, минус конус конечно...

Автор: Lennichka 13.5.2009, 16:21

Ладно, всем спасибо, задачу уже решили)))))))

Автор: dr.Watson 14.5.2009, 8:38

Задача поставлена не вполне корректно или даже совсем некорректно, и эта некорректность возникла из-за того, что только лишь одно условие z>=0 записано неравенством, а остальные два - уравнениями. Уравнение даёт поверхность, она разделяет пространство на две части и не указывает какую из частей надо брать. В результате деления пространства поверхностями частей становится ещё больше. Если лишь одна из частей окажется ограниченной, то вопроса о корректности не возникнет. Но здесь это не так - таких ограниченных частей две, а если бы вместо z>=0 было бы z=0, то было бы ещё хуже - таких частей было бы три.

Нарисуйте в полуплоскости YZ (Y>0) кривые

z=4-y^2/4
z=(1/sqrt2)y
z=0
z=-(1/sqrt2)y

Эти кривые разбивают полуплоскость на части, из которых только три ограничены:

1) (1/sqrt2)y<z<4-y^2/4
2) 0<z<(1/sqrt2)y
3) -(1/sqrt2)y<z<min{0; 4-y^2/4}

Возможность вращения фигуры (3) вокруг оси OZ отсечена неравенством z>0, а вот в пользу вращения первой или второй части никаких указаний в условии нет. Я вращал первую, а Вам кажется, что надо вращать вторую.
Я вижу, что второй вариант возможен, но он не обязателен. К чему автор задачи относит неравенство z>0?
1) Надо взять верхнюю половину конуса и пересечь её с параболлоидом, в результате чего только одна часть пространства окажется ограниченной. Не задуряясь корректностью постановки, я это и посчитал.
2) Надо взять часть верхнего полупространства, находящейся под верхней половиной конуса и из полученного вырезать параболлоидом вращения ограниченную часть. Вы это тело нарисовали и считаете, что надо было считать его объём.

В пользу второго понимания вижу только один аргумент: если бы был первый вариант то неравенство z>0 можно было бы сделать излишним - для этого достаточно было указать только две поверхности z=sqrt{x^2+y^2} и z=4-(x^2+y^2)/4.

Но это уже, знаете ли - ребус, не имеющий ничего общего с корректной постановкой задачи. В конце концов, даже если и в самом деле имелся в виду второй вариант, удобнее найти объём первой части и вычесть его из совокупного объёма первой и второй частей, представляющий собой холмик, образованный параболлоидом вращения и плоскостью.

Автор: Lennichka 14.5.2009, 11:32

Спасибо))) Но все оказалось гораздо проще)))

Автор: dr.Watson 15.5.2009, 2:49

В каком смысле? Задача в любом случае тривиальна - речь шла о том, какую из двух постановок задачи имел в виду автор.
Дискуссия с Ярославом у нас шла на уровне вопроса: какой ответ надо давать 37 или 73 в задаче

Найти двузначное число, состоящее из цифр 3 и 7.