Версия для печати темы

Автор: Маньфа 21.4.2009, 10:23

Здравствуйте.

На меня напал ступор

Задание такое: Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах x^4=a^2(3x^2-y^2), а>0.

Решение:
Выразила уравнение кривой в полярных координатах:
р^4*cos^4(fi)=a^2*p^2*(3cos^2(fi)-sin^2(fi))
р^2=a^2*(3cos^2(fi)-sin^2(fi))/cos^4(fi)
р^2=a^2*(4cos^2(fi)-1))/cos^4(fi)
Наривовала эту кривульку - получился бантик, состоящий из 4-х одинаковых сегментов.
Написала формулу вычисления площади фигуры, преобразовала и даже проинтегрировала.
S=4S_1=4int int pdpdfi=4int dfi int pdp =
= 4 int dfi *(p^2)/2(с подстановкой от 0 до р^2=a^2*(4cos^2(fi)-1)/cos^4(fi))=
= 2a^2 int (4cos^2(fi)-1)d(fi)/cos^4(fi)=
=2a^2 (int ((4cos^2(fi)d(fi)/cos^4(fi)-int d(fi)/cos^4(fi))=
= 2a^2 (4 int (d(fi)/cos^2(fi)) -int (1/cos^2(fi)*d(fi)/cos^2(fi))=
= 2a^2 (4 int (d(tg(fi)) -int (1+tg^2(fi)d(tg(fi)))=
=2a^2(4tg(fi)-tg(fi)-(1/3)*tg^3(fi))=
=2a^2(tg(fi)-(1/3)*tg^3(fi))

И вот загвоздка! Какие пределы интегрирования fi? Я брала изначально от 0 до пи/2. Но мы делили на косинус, который в пи/2 равен нулу, и соответственно, полученный тангенс тоже не имеет смысла в пи/2!
что делать?

Автор: Тролль 21.4.2009, 12:10

Так как p^2 >= 0 => 4 * cos^2 fi - 1 >= 0
cos^2 fi - 1/4 >= 0
cos fi >= 1/2 или cos fi <= -1/2.
fi [-pi/3;pi/3] и fi [2pi/3;4pi/3]
По идее должно получиться два бантика, а не 4.

Автор: Маньфа 21.4.2009, 14:11

Не знаю, не знаю... Проверяла в двух граф-програмах.. Там четыре симметричных лепестка.

Автор: tig81 21.4.2009, 17:19

Тролль прав. Не так как-то значит проверяли.

Автор: Ярослав_ 21.4.2009, 17:52

При а=1
http://www.radikal.ru

Автор: Маньфа 22.4.2009, 7:35

Каюсь , Троль, прав. у меня такая же картинка. Но там все равно 4 одинаковых кусочка, как не называй эту замечательную кривульку.

Автор: Тролль 22.4.2009, 8:54

Ну да, четыре одинаковых тогда.
Тогда пределы интегрирования по fi будут от 0 до pi/3.

Автор: Маньфа 22.4.2009, 18:56

Спасибо большое за помощь в просветлении мозгов! Рада, что мы наконец-то друг друга поняли