Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Помогите с определенными интегралами

Автор: Yano4k@ 8.4.2009, 19:03

Проверьте, пожалуйста, очень прошу:

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[2+8/(4-t^2)dt] = 2t+8ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;| = 2sqrt(x)+8ln(4-x) = 2+8ln3-8ln4.
2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[3+15/(5-t^2)d] = 3t-15ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8| = 3sqrt^3(x)-15ln(5-sqrt^3(x^2)) = -15ln5+6.
3) int[sqrt(x)dx/(4-x)] а с этим не знаю как...

Заранее спасибо smile.gif

Автор: tig81 8.4.2009, 19:22

Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 22:03) *

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[2+8/(4-t^2)dt]

сведем подынтегральную функцию к общему знаменателю:
2+8/(4-t^2)=(8-2-t^2+8)/(4-t^2). 2t^2 числителе не получается.
Цитата
= 2t+8ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;| = 2sqrt(x)+8ln(4-x) = 2+8ln3-8ln4.

пределы после замены пересчитывали?
Цитата
2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[3+15/(5-t^2)d] = 3t-15ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8| = 3sqrt^3(x)-15ln(5-sqrt^3(x^2)) = -15ln5+6.

Аналогичный вопрос про пределы.
Неправильно выделили целую часть.
Цитата
3) int[sqrt(x)dx/(4-x)] а с этим не знаю как...

Цитата
1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[2+8/(4-t^2)dt] = 2t+8ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;| = 2sqrt(x)+8ln(4-x) = 2+8ln3-8ln4.

Или здесь что-то не то?

Автор: Stud 9.4.2009, 7:06

Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 19:03) *

Проверьте, пожалуйста, очень прошу:

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[2+8/(4-t^2)dt] = 2t+8ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;| = 2sqrt(x)+8ln(4-x) = 2+8ln3-8ln4.
2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[3+15/(5-t^2)d] = 3t-15ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8| = 3sqrt^3(x)-15ln(5-sqrt^3(x^2)) = -15ln5+6.
3) int[sqrt(x)dx/(4-x)] а с этим не знаю как...

Заранее спасибо smile.gif

Почему третий пример не знаешь? Он у тебя с первым совпадает. smile.gif

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 7:24

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+8ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;после замены t1 = sqrt(1) = 1; t2 = sqrt(0) = 0| = -2sqrt(x)+8ln(4-x) = -2+8ln3-8ln4.
теперь правильно?

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 7:45

2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+15ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8; после замены t1 = sqrt^3(x) = sqrt^3(0) = 0; t2 = -2| = 15ln5-6.
Получается к переменной х не надо переходить? и в 1), и во 2)

Цитата(Stud @ 9.4.2009, 13:06) *

Почему третий пример не знаешь? Он у тебя с первым совпадает. smile.gif



Ой, это я неоттуда видимо скопировала rolleyes.gif
3) int[sqrt(x+2)dx/x)
4) int[3xdx/sqrt((x+1)^3)]
вот эти я не знаю....

Автор: tig81 9.4.2009, 13:27

Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 10:24) *

... = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+8

Разве int[dt/(4-t^2)] равен ln(4-t^2)?
Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 10:45) *

2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+15ln(5-t^2)

Еще раз посмотрите, чему равен интеграл. Вы его неправильно вычислили.

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 13:43

Цитата(tig81 @ 9.4.2009, 19:27) *

Разве int[dt/(4-t^2)] равен ln(4-t^2)?

Еще раз посмотрите, чему равен интеграл. Вы его неправильно вычислили.




Я не понимаю sad.gif Чтобы было ln(4-t^2), нужно переделать dt. Но как?

Автор: tig81 9.4.2009, 16:47

Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 16:43) *

Я не понимаю sad.gif Чтобы было ln(4-t^2), нужно переделать dt. Но как?

А обязательно именно такой логарифм должен получится?
int(dx/(1-x^2))=(1/2)*ln((1-x)/(1+x))+C

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 18:24

Цитата(tig81 @ 9.4.2009, 22:47) *

А обязательно именно такой логарифм должен получится?
int(dx/(1-x^2))=(1/2)*ln((1-x)/(1+x))+C



1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+4ln(4-t^2)| верхн. пр. =1;нижн. пр. = 0;после замены t1 = sqrt(1) = 1; t2 = sqrt(0) = 0| = -2+4ln3-4ln4.
теперь правильно?
Получается к переменной х потом не надо переходить?

2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+(15/2)ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8; после замены t1 = sqrt^3(x) = sqrt^3(0) = 0; t2 = -2| = (15/2)ln5-6.

3) int[sqrt(x+2)dx/x), а в этом подскажите плиз какую сделать замену?

Автор: tig81 9.4.2009, 19:07

Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 21:24) *

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+4ln(4-t^2)|
теперь правильно?

интеграл найден неверно.
Цитата
Получается к переменной х потом не надо переходить?

Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования.
Т.е. пересчтываются предлеы для новой переменной
Цитата
2) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |x=t^3| = int[3t^2 dt/(5-t^2) = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+(15/2)ln(5-t^2)|верхн пр. = 0; нижн. пр. = -8; после замены t1 = sqrt^3(x) = sqrt^3(0) = 0; t2 = -2| = (15/2)ln5-6.

аналогично. я ведь вам формулу написала.
Цитата
3) int[sqrt(x+2)dx/x), а в этом подскажите плиз какую сделать замену?

х+2=t^2.

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 19:53

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+4ln((4-t)(4+t))? так?

3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)], так?

Автор: tig81 9.4.2009, 20:48

Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 22:53) *

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+4ln((4-t)(4+t))? так?

По формуле 1-х^2, а у вас вместо 1 стоит 4. Выносите последнюю из знаменателя.
Цитата
3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)], так?

да

Автор: Yano4k@ 10.4.2009, 8:20

Цитата(tig81 @ 10.4.2009, 2:48) *

По формуле 1-х^2, а у вас вместо 1 стоит 4. Выносите последнюю из знаменателя.
да



1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+2ln((1-t)(1+t)) так?

3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)] = int[2+4/(t^2-2)dt] = 2t+(4/sqrt(2))ln(t-1)(t+1), здесь тоже так?

Автор: tig81 10.4.2009, 18:01

Цитата(Yano4k@ @ 10.4.2009, 11:20) *

1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = -2t+2ln((1-t)(1+t)) так?

int(dx/(1 -x^2))=(1/2)*ln((1-x)/(1+x))+C
У вас стоит 4. Разницу ощущаете? Привидите свой интеграл к табличному.
Цитата
3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)] = int[2+4/(t^2-2)dt] = 2t+(4/sqrt(2))ln(t-1)(t+1), здесь тоже так?

intdt/(t^2-2)=-intdt/(2-t^2)=...
Делаем так, чтобы вместо 2 получилась 1.

Автор: Yano4k@ 11.4.2009, 9:09

Цитата(tig81 @ 11.4.2009, 0:01) *

int(dx/(1 -x^2))=(1/2)*ln((1-x)/(1+x))+C
У вас стоит 4. Разницу ощущаете? Привидите свой интеграл к табличному.
intdt/(t^2-2)=-intdt/(2-t^2)=...
Делаем так, чтобы вместо 2 получилась 1.


Не понимаю, как это сделать((( Просо вынести 4 невозможно, может разложить знаменатель (4-t^2) на
3+(1-t^2)???


Автор: tig81 11.4.2009, 16:54

Цитата(Yano4k@ @ 11.4.2009, 12:09) *

Не понимаю, как это сделать((( Просо вынести 4 невозможно, может разложить знаменатель (4-t^2) на
3+(1-t^2)???

Например, intdt/(2-t^2)=(1/2)intdt/(1-t^2/2)=(1/2)intdt/(1-[t/sqrt(2)]^2)=...

Автор: Yano4k@ 12.4.2009, 8:42

Цитата(tig81 @ 11.4.2009, 22:54) *

Например, intdt/(2-t^2)=(1/2)intdt/(1-t^2/2)=(1/2)intdt/(1-[t/sqrt(2)]^2)=...



1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2dt]+int[8dt/(4-t^2)] = int[-2dt]+1/2int[8dt/((2-t^2)/2)] = int[-2dt]+1/2int[8dt/((2-t^2)/2)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-t^2)/4)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-(t/4)^2] = -2t+2ln(1-t/4)(1+t/4)+C, так?

3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)] = int[2+4/(t^2-2)dt] = int[2dt]+int[4/(t^2-2)dt] = int[2dt]-int[4/(2-t^2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-t^2/2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-(t/2)^2dt] = 2t-2ln(1-t/2)(1+t/2)+C, a здесь?

Автор: tig81 12.4.2009, 8:58

Цитата(Yano4k@ @ 12.4.2009, 11:42) *

...1/2int[8dt/((2-t^2)/2)] =...

это что вы сделали?
Цитата
...int[2dt]-1/2int[4/(1-t^2/2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-(t/2)^2dt] = 2

t^2/2=(t/sqrt2)^2.

Автор: Yano4k@ 13.4.2009, 7:20

Цитата(tig81 @ 12.4.2009, 14:58) *

это что вы сделали?
t^2/2=(t/sqrt2)^2.



Ооой, извините...
1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2dt]+int[8dt/(4-t^2)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-t^2)/4)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-(t/sqrt4)^2] = -2t+2ln(1-t/sqrt4)(1+t/sqrt4)+C

3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)] = int[2+4/(t^2-2)dt] = int[2dt]+int[4/(t^2-2)dt] = int[2dt]-int[4/(2-t^2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-t^2/2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-(t/sqrt2)^2dt] = 2t-2ln(1-t/sqrt2)(1+t/sqrt2)+C, теперь правильно?

Автор: tig81 13.4.2009, 8:32

Цитата(Yano4k@ @ 13.4.2009, 10:20) *

Ооой, извините...
1) int[sqrt(x)dx/(4-x)] = |x=t^2| = int[2t^2dt/(4-t^2)] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2+8/(4-t^2)dt] = int[-2dt]+int[8dt/(4-t^2)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-t^2)/4)] = int[-2dt]+1/4int[8dt/((1-(t/sqrt4)^2] = -2t+2ln(1-t/sqrt4)(1+t/sqrt4)+C

По-моему, 1/2 потеряли, которая по формуле перед логарифмом. sqrt4 легко вычисляется и равен 2. Подлогарифмическую функцию приведите к общему знаменателю и сделайте обратную замену.
Цитата
3) int[sqrt(x+2)dx/x) = | x+2 = t^2| = int[2t^2dt/(t^2-2)] = int[2+4/(t^2-2)dt] = int[2dt]+int[4/(t^2-2)dt] = int[2dt]-int[4/(2-t^2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-t^2/2)dt] = int[2dt]-1/2int[4/(1-(t/sqrt2)^2dt] = 2t-2ln(1-t/sqrt2)(1+t/sqrt2)+C, теперь правильно?

Посмотрите на 1/2, приведите к общему знаменателю дробь под логарифмом. А так вроде все верно.

Автор: Yano4k@ 14.4.2009, 8:01

Цитата(tig81 @ 13.4.2009, 14:32) *

По-моему, 1/2 потеряли, которая по формуле перед логарифмом. sqrt4 легко вычисляется и равен 2. Подлогарифмическую функцию приведите к общему знаменателю и сделайте обратную замену.

Посмотрите на 1/2, приведите к общему знаменателю дробь под логарифмом. А так вроде все верно.



В 1) получился ответ -2t+ln(1-t^2/4), это если я потеряла 1/2. А зачем подлогарифмическую функцию приводить к общему знаменателю? только усложнять... А замену ведь не надо потом обратно делать, нужно только пределы пересчитать?

В 3) 2t-ln(1-t^2/2), тоже пересчитываю пределы и не надо делать замену обратно?

Автор: tig81 14.4.2009, 18:05

Цитата(Yano4k@ @ 14.4.2009, 11:01) *

В 1) получился ответ -2t+ln(1-t^2/4), это если я потеряла 1/2. А зачем подлогарифмическую функцию приводить к общему знаменателю? только усложнять...

как сказать...
Цитата
А замену ведь не надо потом обратно делать, нужно только пределы пересчитать?

да, только пересчитайте пределы
Цитата
В 3) 2t-ln(1-t^2/2), тоже пересчитываю пределы и не надо делать замену обратно?

Извините, но не поняла, как такое получили.

Автор: Yano4k@ 15.4.2009, 10:16

Цитата(tig81 @ 15.4.2009, 0:05) *

как сказать...
да, только пересчитайте пределы
Извините, но не поняла, как такое получили.



3) 2t-2ln(1-t/sqrt2)(1+t/sqrt2)+C = 2t-ln(1-t/sqrt2)(1+t/sqrt2)+C = , это я забыла посчитать 1/2, = 2t-ln(1-t^2\2), по формуле разность квадратов, разве так нельзя? и в 1) тоже...
Спасибо большое thumbsup.gif

Автор: Yano4k@ 15.4.2009, 10:50

4) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |Замена x = t^3| = int[3t^2dt/(5-t^2)] = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+(15/10)ln(1-t/sqrt5)(1+t/sqrt5), так?
5) int[dx/(2-sqrt(1+x)), а здесь какую замену сделать?

Автор: tig81 15.4.2009, 15:22

Цитата(Yano4k@ @ 15.4.2009, 13:50) *

sqrt^3(x^2)

Это корень кубический из х^2: Так?
Цитата
5) int[dx/(2-sqrt(1+x)), а здесь какую замену сделать?

1+х=у не пробовали?

Автор: Yano4k@ 16.4.2009, 7:12

Цитата(tig81 @ 15.4.2009, 21:22) *

Это корень кубический из х^2: Так?
1+х=у не пробовали?


Да, это корень кубический из х^2.
1+х=t пробовала, не подходит! Получается int[dx/(2-sqrt(t)) и все

Автор: tig81 16.4.2009, 8:59

Цитата(Yano4k@ @ 16.4.2009, 10:12) *

1+х=t пробовала, не подходит! Получается int[dx/(2-sqrt(t)) и все

Имелось в виду 1+х=t^2.

Автор: Yano4k@ 16.4.2009, 12:47

Цитата(tig81 @ 16.4.2009, 14:59) *

Имелось в виду 1+х=t^2.



5) int[dx/(2-sqrt(1+x)) = |Замена 1+x = t^2| = int[2tdt/(2-t)] = int[(-2+4/(2-t))dt] = int[-2dt]+int[4dt/(2-t)] = -2t+4ln(2-t), так?
а 4) правильно?

Автор: tig81 16.4.2009, 19:02

Цитата(Yano4k@ @ 16.4.2009, 15:47) *

5) int[dx/(2-sqrt(1+x)) = |Замена 1+x = t^2| = int[2tdt/(2-t)] = int[(-2+4/(2-t))dt] = int[-2dt]+int[4dt/(2-t)] = -2t+4ln(2-t), так?

1. Второе слагаемое у меня получилось со знаком "-".
2. +С
3. Надо еще вернутся к переменной х.
Цитата
а 4) правильно?

Цитата(Yano4k@ @ 15.4.2009, 13:50) *

4) int[dx/(5-sqrt^3(x^2))] = |Замена x = t^3| = int[3t^2dt/(5-t^2)] = int[-3+15/(5-t^2)dt] = -3t+(15/10)ln(1-t/sqrt5)(1+t/sqrt5), так?

у меня получилось -3t-15/(2sqrt(5))lm(t-sqrt(5)/(t+sqrt(5)))+C

Автор: Yano4k@ 17.4.2009, 8:24

Цитата(tig81 @ 17.4.2009, 1:02) *

1. Второе слагаемое у меня получилось со знаком "-".
2. +С
3. Надо еще вернутся к переменной х.
у меня получилось -3t-15/(2sqrt(5))lm(t-sqrt(5)/(t+sqrt(5)))+C



В 4) все понятно, я теперь нашла эти формулы, про которые вы говорили, спасибо thumbsup.gif
В 5) тоже все понятно! Но если у меня определенный интеграл , я ведь могу просто пересчитать пределы интегрирования и не возвращаться к переменной х, да?

6) int[3xdx/sqrt((x+1)^3)], подскажите плиз замену...

Автор: Stensen 17.4.2009, 9:46

Цитата(Yano4k@ @ 17.4.2009, 12:24) *


В 5) тоже все понятно! Но если у меня определенный интеграл , я ведь могу просто пересчитать пределы интегрирования и не возвращаться к переменной х, да?
аккуратно

Цитата(Yano4k@ @ 17.4.2009, 12:24) *


6) int[3xdx/sqrt((x+1)^3)], подскажите плиз замену...
t=sqrt(x+1)


Автор: Yano4k@ 17.4.2009, 13:27

Цитата(Stensen @ 17.4.2009, 15:46) *

аккуратно
t=sqrt(x+1)



А разве так можно? Получится int[(3(t^2-1)d2t)/t^3] и что? int[d12t^2/t^3]??? dry.gif

Автор: Stensen 17.4.2009, 14:50

dx=2tdt, а не d(2t)

Автор: Yano4k@ 18.4.2009, 7:28

Цитата(Stensen @ 17.4.2009, 20:50) *

dx=2tdt, а не d(2t)




ну, и ничего это не дает! Получается int[3xdx/sqrt((x+1)^3)] = |Замена t=sqrt(x+1)| = int[3(t^2-1)2tdt/t^3] = int[(6t^3-6t)dt/t^3] = int[(6-6/t^2)dt]... dry.gif

Автор: tig81 18.4.2009, 7:46

Цитата(Yano4k@ @ 18.4.2009, 10:28) *

ну, и ничего это не дает! Получается int[3xdx/sqrt((x+1)^3)] = |Замена t=sqrt(x+1)| = int[3(t^2-1)2tdt/t^3] = int[(6t^3-6t)dt/t^3] = int[(6-6/t^2)dt]... dry.gif

= int[(6t^2-6)/t^2)dt]
Выделяйте теперь целую часть.

Автор: Yano4k@ 19.4.2009, 12:16

Цитата(tig81 @ 18.4.2009, 13:46) *

= int[(6t^2-6)/t^2)dt]
Выделяйте теперь целую часть.


= int[(6t^2-6)/t^2)dt] = int[(6-6/t^2)dt] = 6t-6ln(t^2)???


Автор: tig81 19.4.2009, 12:26

Цитата(Yano4k@ @ 19.4.2009, 15:16) *

= int[(6t^2-6)/t^2)dt] = int[(6-6/t^2)dt] = 6t-6ln(t^2)???

int(6dt/t^2) вычислен неправильно.

Автор: Yano4k@ 20.4.2009, 9:48

Цитата(tig81 @ 19.4.2009, 18:26) *

int(6dt/t^2) вычислен неправильно.


int[(6-6/t^2)dt] = 6t-6/t???

Автор: Ярослав_ 20.4.2009, 9:55

Цитата(Yano4k@ @ 20.4.2009, 13:48) *

int[(6-6/t^2)dt] = 6t+6/t+С


Автор: tig81 20.4.2009, 10:40

smile.gif

Автор: Yano4k@ 20.4.2009, 13:48

Цитата(tig81 @ 20.4.2009, 16:40) *

smile.gif


Спсибо большое

Ну да, Спасибо еще раз

Автор: tig81 20.4.2009, 14:03

bigwink.gif

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)