Версия для печати темы

Автор: Nat111 5.4.2009, 16:02

Задание: Проверить, удовлетворяет ли указанному условию данная функция Z(x,y):

9((d^(2)z)/(dx^2))+((d^(2)z)/(dy^2))=0, z=e^(x-3y)*sin(x+3y)

с чего начать?

Автор: tig81 5.4.2009, 16:44

Найдите d^(2)z/dx^2 и d^(2)z/dу^2

Автор: Nat111 10.4.2009, 19:02

Найдем d^(2)z/dx^2 - это вторая производная по Х.
Для этого найдем сначала первую производную по х:
z'=(1-3y)e^(x-3y)*sin(1+3y)
Теперь найдем вторую производную по х:
z''=(1-3y)(1-3y)e^(x-3y)=(1-6y-9y^2)e^(x-3y)=(9y^2-6y-1)e^(x-3y)
Отсюда следует:
d^(2)z/dx^2=(9y^2-6y-1)e^(x-3y)

верно нашла?

Автор: tig81 10.4.2009, 19:37

Т.е. у - константа.
(e^u)'=e^u*u'
(sinu)'=cosu*u'
(u*v)'=u'v+uv'

Автор: Nat111 11.4.2009, 6:47

z'=(e^(x-3y))'sin(x+3y)+e^(x-3y)*(sin(x+3y))'=
=(x-3y)'e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)(x+3y)'=
=(1-3y)e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)(1+3y)=
=e^(x-3y)*((1-3y)sin(x+3y)+cos(x+3y)(1+3y))

правильно? что еще можно сделать с первой производной?по каким теперь формулам найти вторую производную?

Автор: A_nn 11.4.2009, 6:55

Нет, пока неправильно
Ва ша функция - от ДВУХ переменных. У нее нет просто первой производной - есть производная по х и по у. Вам надо найти обе. Сначала по dx, например. Для этого надо представить, что у - это константа (например, что там написано везде вместо у 7, т.е. от у производная по х будет равно 0). Найдите. Потом скажу дальше (если буду еще тут, ну или другие скажут.)

Автор: Nat111 13.4.2009, 15:05

dz/dx = e^(x-3y)*sin(x+3y) + e^(x-3y)*cos(x+3y)

правильно первая производная по х, как теперь найти d^(2)z/dx^2 ?

Автор: tig81 13.4.2009, 17:36

правильно

dz/dx еще раз по х продифференцировать

Автор: Nat111 14.4.2009, 17:09

d^(2)z/dx^2=(e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y))'=
=(x-3y)'e^(x-3y)*(-cos(x+3y)(x+3y)')+e^(x-3y)*(x-3y)'*sin(x+3y)*(x+3y)'=
=-e^(x-3y)*cos(x+3y)+e^(x-3y)*sin(x+3y)

верно нашла?

Автор: tig81 14.4.2009, 19:18

(e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y))'=(e^(x-3y)*sin(x+3y))'+(e^(x-3y)*cos(x+3y))'=...
Далее каждое слагаемое по правилу дифференцирования произведения.

Автор: Nat111 15.4.2009, 11:17

...=(e^(x-3y)*(sin(x+3y))'+sin(x+3y)*(e^(x-3y))')+(e^(x-3y)*(cos(x+3y))'+cos(x+3y)*(e^(x-3y))')=
=(e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'+sin(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y))+(e^(x-3y)*(-sin(x+3y)*(x+3y)')+cos(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y))=
=(e^(x-3y)*cos(x+3y)+sin(x+3y)*e^(x-3y))+(e^(x-3y)*(-sin(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)=
=e^(x-3y)*cos(x+3y)+sin(x+3y)*e^(x-3y)-e^(x-3y)*sin(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)

верно?

далее сократим: sin(x+3y)*e^(x-3y) и -e^(x-3y)*sin(x+3y).

получим: e^(x-3y)*cos(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)
верно?
Что еще можно сделать?

Автор: tig81 15.4.2009, 15:40

похоже на правду

не сократим, а взаимо уничтожим.

да

Свести подобные

Автор: Nat111 16.4.2009, 9:21

точно



e^(x-3y)*cos(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)=2cos(x+3y)*e^(x-3y)

верно?




далее находим d^(2)z/dy^2:
для начало найдем dz/dy:
dz/dy=(e^(x-3y)*sin(x+3y))' по y=
=(e^(x-3y))'*sin(x+3y)+e^(x-3y)*(sin(x+3y))'=
=(x-3y)'*e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'=
=-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)*3=
=-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+3cos(x+3y)*e^(x-3y)

верно?

Автор: tig81 16.4.2009, 12:18

да.

Автор: Nat111 16.4.2009, 12:22

дальше находим:
d^(2)z/dy^2=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+3cos(x+3y)*e^(x-3y))' по y=
=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y))'+(3*cos(x+3y)*e^(x-3y))'=
=(-3e^(x-3y)*(sin(x+3y))'+sin(x+3y)*(3e^(x-3y))')+(3cos(x+3y)*(e^(x-3y))'+e^(x-3y)*(3cos(x+3y))')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'+sin(x+3y)*(x-3y)'*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*(x+3y)')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*3+sin(x+3y)*(-3)*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(-3)*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*3)=
=(-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))+(-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))=
=-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)sin(x+3y)-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y)=
=-18e^(x-3y)*cos(x+3y)-18*e^(x-3y)*sin(x+3y)


верно?

Автор: tig81 16.4.2009, 12:50

Вроде да.

Автор: Nat111 16.4.2009, 14:10

теперь найденные производные подставляем в исходное уравнение?
получим:
9*(2cos(x+3y)*e^(x-3y))+(-18e^(x-3y)cos(x+3y)-18e^(x-3y)*sin(x+3y))=0
18cos(x+3y)*e^(x-3y)-18e^(x-3y)*cos(x+3y)-18e^(x-3y)*sin(x+3y)=0
-18e^(x-3y)*sin(x+3y)=0

получается что? что у меня данная функция не удовлетворяет указанному условию? может я где то ошибку допустила? проверьте пожалуйста...

Автор: tig81 16.4.2009, 17:08

Все, кажется, нашла ошибку:

По-моему, знак потерян (выделено красным). Проверьте еще раз.

П.С. Должно получится -18e^(x-3y)cos(x+3y)

Автор: Nat111 17.4.2009, 17:08

получилось.

теперь найденные производные подставляем в исходное уравнение,
получим:
9*(2cos(x+3y)*e^(x-3y))+(-18e^(x-3y)cos(x+3y)=0
18cos(x+3y)*e^(x-3y)-18e^(x-3y)*cos(x+3y)=0
0=0

ОТВЕТ: данная функция удовлетворяет указанному условию.

верно?

Автор: tig81 17.4.2009, 17:40

ес